《工程数学》课程十三――复变函数六

主讲教师:冉扬强工程数学复变函数辅导课程十三第四章级数§3泰勒级数§4洛朗级数第二篇复变函数第四章级数§3泰勒级数解析函数的幂级数表示泰勒定理：设在区域D内解析，，只要圆含于D内，则在K内能展成幂级数其中系数并且展式是唯一的。讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用系数公式来求系数，即可用间接法展开。(2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：在D内解析在D内任一点的某邻域内可展成幂级数(泰勒级数)。（3）几个初等函数的泰勒级数201111nnnzzzzzz20112!!!nnznzzezzznn22460111cos112!4!62!nnnzzzzzzn2135701sin1!3!5!7!21!nnnzzzzzzzn§4洛朗级数一、双边幂级数的收敛圆环对于第一个级数，它是幂级数，故它在收敛圆()内表示一个解析函数，对第二个级数，作代换得设它的收敛区域为()，则上级数在内表示一个解析函数。即：这样:故知级数(2)在()内表示一个解析函数.这样级数(1),(2)有公共的收敛区域：圆环这时，我们称级数(1)与级数(2)之和为一双边幂级数.表示为：其收敛区域为圆环：定理：双边幂级数在收敛圆环上绝对收敛并且内闭一致收敛，它的和函数在其上是解析函数.二、解析函数的洛朗展式定理(洛朗定理)：在圆环H:内的解析函数必可展成级数:系数称为洛朗系数，展式称为洛朗级数.为圆周，并且展式是唯一的.讨论：1)由于在圆所围区域可能有奇点，因此，不能用柯西公式把系数记为：2)由于展式的唯一性，可用任何方法来求一个在圆环内解析的函数的洛朗展式，而不一定用系数公式来求.3)如在D上有奇点，可作一个圆包围所有的奇点，那么在该圆的外部区域，为解折函数，可展为洛朗级数.4)同一函数在不同的圆环内，其洛朗展式也不同.三、洛朗展式举例1、孤立奇点：若函数在不解析(不解析包括不可微或无定义)，而在的某无心邻域(即除去圆心的某个圆)内解析，则称是的一个(单值性)孤立奇点。如果在的无论多么小的邻域内，总有除以外的奇点，则是的非孤立奇点。例如：函数它有孤立奇点又如，函数，z=0是它的非孤立奇点.因为的奇点是，即：,显然可以任意接近z=0点.这就是说在z=0的无论多么小的邻域内，函数总有异于z=0的奇点.如果a为的单值性孤立奇点，则必存在R，使在内可展成洛朗级数.例1：函数有孤立奇点在内有：在内例2：有孤立奇点z=0，并且在内有洛朗展式.例3、将在及，内分别展开成洛朗数.解：(i).(ii).11000011111()1(1)(2)212(1)(1)21111222nnnnnnnnnnfzzzzzzzzzzzzz－21||z100011111()(1)(2)2112(1)211(1)222nnnnnnnnfzzzzzzzzzz1||z(iii).0011021111()2121(1)(1)12112121.nnnnnnnnnnfzzzzzzzzzzzzz　　　　||z2第五章留数主要内容(1)、单值函数的孤立奇点(2)、留数的概念及留数定理(3)、求留数的方法(4)、利用留数定理求复变积分(5)、利用留数定理求某些实变积分重点和难点重点:单值函数的孤立奇点的分类及特点；留数定理及留数的求法；利用留数定理计算复变函数积分和实变函数积分难点:留数的求法；留数定理计算实变积分的方法；单值函数的孤立奇点§1孤立奇点一、孤立奇点的三种类型如果a为的孤立奇点，则在a的某无心邻域内可以展成洛朗级数称为在a点的正则部分,而称为在a点的主要部分.孤立奇点分为三种：(i).可去奇点：如果在a点没有主要部分，则称a为的可去奇点.(ii).m阶极点：如果在a点的主要部分有有限多项，设为:则称a为的m阶级点.(iii).本性奇点：如果在a点的主要部分有无限多项，则称a为的本性奇点.二、可去奇点是可去奇点的充要条件为下列条件之一：(i).在a点没有主要部分(ii).存在并且有限(iii).在a的充分小邻域内有界例如三、极点为的m阶极点的充要条件是下列条件之一：(i).在a点的主要部分为(ii).在a的某无心邻域内能表示成其中在a的邻域内解析，且.(iii).若a为的m阶零点，则a为的m阶极点.所谓a为的m阶零点，是指，，，，但．显然，不恒等于零的解析函数如果能表示成zg0ag0ag0ag0,)1(agm为0)(agmzg其中在a的邻域内解析，且，m为正整数，则a为的m阶零点．推论：的孤立奇点a为极点的充分必要条件是例如)(z0)(azg()()()mgzzaz1)(1)2(1)(zzzzzf)2)(1()(1zzzfzg32zzg11g0)1(11)2)(1(1)(nnzzzzzf四、本性奇点充要条件：不存在a为的本性奇点。不存在的意思是：当时，既不趋于，也不趋于一定的值.例如: