数学竞赛第三讲 二次函数

第三讲二次函数一．含有参变数的二次函数1．集合A={42|2xxyy}，B={axaxyy42|2}，AB，求实数a的取值集合．（{a|0≤a≤1}）2．抛物线cbxxy2的顶点位于区域}10.10|),{(yxyxG内部或边界上，求b、c的取值范围．二．二次函数的最值3．已知0≤x≤1,)(xf=)0(22aaaxx,)(xf的最小值为m．（1）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值．（动轴，定区间）4．函数)(xf=4943322mxx，x∈[―m,1―m],该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值．（定轴，动区间）三．利用二次函数的性质5．若方程22axx1x在区间[0，2]上有两个有两个不等的实根，求a的取值范围．6．设}31|{xxA，又设X是关于x的不等式组0520222bxxaxx的解集，试确定ba,的取值范围，使得XA．2011年高考题选讲：必修一一、集合1．（辽宁理2）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若MCNI，则NM（A）M（B）N（C）I（D）2．（湖北理2）已知21|log,1,|,2UyyxxPyyxx,则UCP=A．1[,)2B．10,2C．0,D．),21[]0,(二、函数1.（江苏11）已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf，则a的值为________2.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为,(),cxAxfxcxAA（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A.75，25B.75，16C.60，25D.60，163.（湖南文12）已知()fx为奇函数，()()9,(2)3,(2)gxfxgf则．4.（辽宁文6）若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=A．21B．32C．43D．15.（浙江理1）已知0),1(02xxfxxxf，则22ff的值为A．6B．5C．4D．2基本初等函数6.（四川理13）计算121(lglg25)100=4_______．7.（陕西文11）设lg,0()10,0xxxfxx„，则((2))ff______.8.（江西理3）若)12(log1)(21xxf，则)(xf定义域为A.)0,21(B.]0,21(C.),21(D.),0(9.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：0lglgMAA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。10.（辽宁理9）设函数1,log11,2)(21xxxxfx，则满足2)(xf的x的取值范围是A．1[，2]B．[0，2]C．),1[D．),0[11.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数xf和偶函数xg满足2xxaaxgxf1,0aa且，若ag2，则2fA.2B.415C.417D.2a12.（湖南文8）已知函数2()1,()43,xfxegxxx若有()(),fagb则b的取值范围为A．[22,22]B．(22,22)C．[1,3]D．(1,3)13.（天津理8）设函数212log,0log,0xxfxxx若fafa，则实数a的取值范围是（）．Ａ．1001,,UＢ．11,,UＣ．101,,UＤ．101,,UxxEFABDC14.（重庆理10）设m，k为整数，方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8（B）8(C)12(D)13函数模型与应用1.（天津理2）函数23xfxx的零点所在的一个区间是（）．Ａ．2,1Ｂ．1,0Ｃ．0,1Ｄ．1,22.（辽宁文16）已知函数axexfx2)(有零点，则a的取值范围是___________．3.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020x时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当2000x时，求函数xv的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）xvxxf可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）4.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）将包装盒容积V（cm3）表示为x的函数.，P答案：第三讲二次函数1.解：A、B分别表示函数422xxy与函数axaxy422的值域．由3)1(4222xxx≥3知A=[3，＋∞）．而B受参数a的影响，要进行讨论．a=0时，xy2，值域是R符合条件AB．a≠0时，)(xf=axax422是二次函数，如果a＜0，该函数的值域为aa14,，这时AB不成立．如果a＞0时，由[3，＋∞][aa14，＋∞],得3140aaa∴0＜a≤1综上所述,a的可取值集合为{a|0≤a≤1}。2.解：抛物线的顶点坐标为（44,22bcb），故14401202bcb1440222bcbb，四．二次函数的最值3.解：（1）把)(xf改写成)(xf=42)2(22aaax．于是知)(xf是顶点为（42,22aaa），开口向上的抛物线．又因为x∈[0,1],故当0＜2a≤1，即0＜a≤2时，)(xf的最小值为42)2(2aaaf；当2a＞1,即a＞2时，)(xf有最小值21)1(af．于是)2(,21)20(,422aaaaam（2）当a＞2时，21a的值小于0，而当0＜a≤2时，422aa=41)1(412a，它的最大值为41（当a=1时取得），故m的最大值为41，此时a=1．4.解：当21∈[―m,1―m],即2321m时,最大值应是34)21(2mf．由342m=25,m2=222||211m得,不符合2321m的条件．可见m]23,21[．当21＞1―m,即m＞23时，函数)(xf=4943322mxx，x∈[―m,1―m]是增函数，可见254159)1(2mmmf，解之得m=25或m=223．其中m=223不合m＞23的条件，舍去．可见1―m=1－25=－23．当21＜―m，即m＜21时,函数)(xf=4943322mxx是[―m,1―m]是减函数,可见25493)(2mmmf,解之得m=27或m=213．其中m=27不合m＜21的条件,舍去,由此知m=213．综上所述,当x=－23或x=213时,函数)(xf有最大值25．五．利用二次函数的性质5.解：令1)1()(2xaxxf．则032)2(,01)0(04)1(,22102affaa解得a的范围为23≤a≤－1．6.解：设22222)5()(52)(),1()1(2)(bbxbxxxgaxaxxxf．要使XA时，则必使)(),(xgxf在[1，3]上的函数图象落在x轴下方，即30)3(0)1(aff；30)3(0)1(bgg2011年高考题选讲必修一一、集合1．A2．A二、函数1.34a2.D3.64.A5.B6.－207.28.A9.6，1000010.D11.B12.B13.C14.D函数模型与应用1.B2.(,2ln22]3.解：（Ⅰ）由题意：当200x时，60xv；当20020x时，设baxxv，显然baxxv在200,20是减函数，由已知得60200200baba，解得320031ba故函数xv的表达式为xv=.20020,20031,200,60xxx（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得xf.20020,20031,200,60xxxxx当200x时，xf为增函数，故当20x时，其最大值为12002060；当20020x时，当100x时，xf在区间200,20上取得最大值310000．综上，当100x时，xf在区间200,0上取得最大值3333310000，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．4.【解】（1）根据题意有2222604(602)2408Sxxxx28(15)1800x（0x30）,所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.（2）根据题意有222(2)(602)22(30)(030)2Vxxxxx，第三讲二次函数方法与例题：六．含有参变数的二次函数对于二次函数)0()(2acbxaxxf，当a、b、c固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若b、c固定时，a可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a、b、c的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．例题分析：7．集合A={42|2xxyy}，B={axaxyy42|2}，AB，求实数a的取值集合．解：A、B分别表示函数422xxy与函数axaxy422的值域．由3)1(4222xxx≥3知A=[3，＋∞）．而B受参数a的影响，要进行讨论．a=0时，xy2，值域是R符合条件AB．a≠0时，)(xf=axax422是二次函数，如果a＜0，该函数的值域为aa14,，这时AB不成立．如果a＞0时，由[3，＋∞][aa14，＋∞],得3140aaa∴0＜a≤1综上所述,a的可取值集合为{a|0≤a≤1}。说明：参数a的取值决定了函数)(xf=axax422的类别及性质，因而对该函数的值域有影响．为了由AB求出a的允许值范围，必须对参数a分情况讨论．8．抛物线cbxxy2的顶点位于区域}10.10|),{(yxyxG内部或边界上，求b、c的取值范围．解：抛物线的顶点坐标为（44,22bcb），故14401202bcb1440222bcbb，上式即为b、c的取值范围．七．二次函数的最值9．已知0≤x≤1,)(xf=)0(22aaaxx,)(xf的最小值为m．（2）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值．（动轴，定区间）解：（1）把)(xf改写成)(xf=42)2(2