数学竞赛辅导(2014) 第一讲 函数、极限、

数学竞赛辅导第一讲函数、极限、连续1、函数记为函数上的为定义在则称映射设数集,:,DRDfRD,),(Dxxfy因变量自变量定义域DDf关键：定义域和对应法则。等价的函数是：（）与2)(xxf(001)xdxxdxddxcxbxa0332)()()()(§1.1函数1.1函数定义域的求法)(arccosarcsin,tan,log,,12xxyxyxyxyxyan(002)求下列函数的定义域)16(log2)1(xyx1.2函数的基本性质1.2.1奇偶性),()(xfxf;)(为偶函数称xf),()(xfxf.)(为奇函数称xf任何一个函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数的和。(003)判断下列函数的奇偶性))(()()1ln(02奇函数为其中xxfdttfyxxy1.2.2周期性,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(xflxf且为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立1.2.3有界性,)(,,0,成立有若MxfXxMDX..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf(006)2)(2)(21)(21)()()(1)(2xfdxfcbaxxxf有界，且有界，且由下界无上界由上界无下界在定义域内为（）函数41)(21lg)(0)(21lg2)()()(]121[lg)(xfdxfcbaxxxf有界，且有界，且由下界无上界由上界无下界上为（），在区间函数(007)1.2.3单调性1.2.4分段函数0,10,00,1sgnxxxxy符号函数QRxQxy/,0,112345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数如:[5.3]=5,[-4.5]=-5.一、数列、函数的极限的定义1.数列极限axnnlim.,,,0axNnNn恒有时当2.函数极限,0Axfx)(lim,0X,时当Xx.)(Axf恒有.)(,0,0,00Axfxx恒有时当Axfxx)(lim01.数列极限.,,,0axNnNn恒有时当3.左右极限左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时当AxfAxfxx)()(lim00或AxfAxfxx)()(lim00或4.无穷小、无穷大注意：(1)无穷大实际上是极限不存在的一种形式。)(),1(),0(,lnxxaaxxxx由慢到快)(,!),1(),0(,lnnnnaannnn由慢到快(2)无界变量和无穷大的区别。xxyxy1sin1,15.无穷小的比较（重点）高阶的无穷小是比，就说如果0lim)1(;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C是等价的无穷小。与则称如果特殊地，,1lim低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(常用的等价无穷小xxxxexxxxxxxx~1)1(,21~cos11~)1ln(~arctan~tan~arcsin~~sin02时，6.特殊极限exexxxxxxxx)11(lim;)1(lim;1sinlim100它三个的高阶无穷小时，下列函数哪个是其当0x例2)1ln()(tan)(cos1)()(22xdxxcxbxa例3排列应为（）按从低阶到高阶的顺序无穷小把,sintan,cos0030022xxxdttdtxdttx,,)1(,,)2(,,)3(,,)4(2004数一6.函数的连续性),()(lim00xfxfxx若则称函数y=f(x)在点x0连续.准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.准则Ⅰ′如果当)(0xUxo(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.7两个重要准则二、举例1、依据数列(函数)极限的定义求极限解题提示：极限的存在性可考虑用极限的定义证，解题过程可以先求出{xn}的极限后，再证明它的存在性。解：llxxlxnnnnnn12),12(limlim,lim1即则存在。，以下证明舍去nnxxllim)21(2121lim).(41244411)12(12:01112211111nnnnnnnnnnnxnlxlxlxlxlxlxlxlx充分大时当对于例nnnnxnxxxlim,1,12,211求设夹逼准则、单调有界原理2、依据数列(函数)极限的存在的定理、法则准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.准则Ⅰ′如果当)(0xUxo(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.例4103limdxxxnn解：的项留下来）把含有nxx(233,10101010233dxxdxxxdxxnnn013lim3lim10110nxdxxnnnn而012lim2lim10110nxdxxnnnn03lim10dxxxnn故nnnn1321lim）（求例4解nnnnnnn111)33(321)3(）（3)33(lim,1)3(lim11nnnnn3321lim1nnnn）（说明：以下是几个常用的极限1,0limqqnn当0,1lim1aann当1lim1nnn例5kiaaaainnknnn,2,1,0,)(lim121其中求解：nikinknnnikiakaaaa}]{max[)(}]{max[1211nnikinnknnnnikiakaaaa1112111}]{max[)(}]{max[}]{max[1ikia}{max11ikinak}]{max[1ikia}]{max[1ikia}]{max[1ikia例6nnnxaaaaxaaxaxlim,0,,21求已知12xaxxn为单调增加数列，由于先证明11,kkkkxaxaxxkn则有时，设当kkkkxxxaxa11,即：单调增加。nx再证明数列有界11aax显然：lalxaxlxnnnnnn1limlim,lim则设)411(21lim])411(21[),411(21axalalnn故舍去11211,11aaaaaxaxknaxkkk时，有：则当假设：有界。所以nx,3、依据数列(函数)本身的变形)12111(lim)3(nnnnn解：1012ln11111lim)11211111(1limdxxnknnnnnnnknn原式)12111(lim)4(222222nnnnn)1(21lim)5(1pnnppppn例8)1sin(lim2nx求析判断。乘以其共轭，然后再分子分母则在运算前通常要在分或达式中含有解题提示：凡函数的表),(baba))1sin(lim)1sin(lim22nnnnxx解：)1(sin)1(lim)1sin()1(lim22nnnnnxnx0)1(sin~)1(22nnnn0原式罗必达法则.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;0)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxaxax那末或为无穷大存在且都存在及点的某去心邻域内在;00应用罗必达法则应注意：1）只有的未定式，才能使用罗必达法则。;002)每完成一次洛必达法则，要将式子整理化简3)为化简，运算经常将法则与等价无穷小结合使用。例)00()(arcsin1sinlim20xxexx求解：xx~arcsin212coslim1sinlim)(arcsin1sinlim02020xxexxexxexxxxxx不存在型非不存在)()(lim)()()(lim)4)()(00xgxfxgxfxxxxxx例求下列极限)00()(arctan1sinlim);(cos23sin3lim230xxxxxxxxx利用特殊极限exexxxxxxxx)11(lim;)1(lim;1sinlim100nnnnnx1sin)1(lim1例解：ennnnnnnnnnxnxnnxnnx11sinlim)11(lim11sin)1(lim1sin)1(lim1111例)1()(coslim)1ln(02xxx求解：)1ln(1)1(cos1cos10)1ln(022)]1(cos1[lim)(coslimxxxxxxxx222~)1ln(,21~1cosxxxx2121lim)1ln(1)1(coslim22020eeexxxxxx原式例（1995-1）)1()31(limsin20xxx求)1()2(limxxaxax求（1996-1）例)1()(lim120xnxxxxneee求解：xnxxxxxnxxxxnneeeneee120120)1(lim)(lim)1(211lim20nxnneeenxxxx洛必达)1(21120)1(limnxnxxxxenneee例)00()0(lim22aaxaxaxax求解：2222)())((limaxaxaxaxaxaxax原式]1)([limaxaxaxaxaxa21例)00()(arcsinarcsinlim30xxxx求解：61arcsinlim30洛必达原式xxxx例)00(cossinlimsin070202xtxtxdtettdtet求解：xexxxexxxcoscos)(sin2sinsin7242原式1cos2coscos2sin7342xexxexxx例)00(lim100102xexx求解：若直接应用洛必达法则，更复杂。所以，行不通。0lim1502uueuxu原式型的求解方