3.8 平面束

§3.8平面束定义3.8.1空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那么直线叫做平面束的轴.交于一条直线L，那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是：,0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl其中l，m是不全为零的任意实数.0:,0:2222211111DzCyBxADzCyBxA（2）（1）定理3.8.1如果两个平面证首先证明,当任取两个不全为零l,m的值时,(3.8-1)表示一个平面.把(3.8-1)改写为l3.8-1,0)()()()(21212121mDlDzmClCymBlBxmAlA（3.8-1`）这里的系数不能全为零，这是因为如果全为零，即,21mAlA,21mBlB21mClC,021mAlA,021mBlB,021mClC那么得,212121CCBBAA这和π1与π2是两相交平面的假设矛盾，因此(3.8-1`)是一个关于x，y，z的一次方程,所以(3.8-1`)或(3.8-1)表示一个平面。通过直线L的平面，也就是（3.8-1）总表示直线L为轴的平面束中的平面.下面说明,平面π1与π2的交线L满足方程(3.8-1),0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl因为平面π1与π2的交线L上点的坐标同时满足方程（1）与（2），0:,0:2222211111DzCyBxADzCyBxA（2）（1）从而必满足方程（3.8-1）.所以（3.8-1）总代表反过来，证明对于以直线L为轴的平面束中任意一个平面π，我们都能确定l，m使平面π的方程为（3.8-1）的形式。为此只要在平面π上选取不属于轴L的任一点（x0，y0，z0），那么由(3.8-1)表示的平面要通过点（x0，y0，z0）的条件是,0)()(20202021010101DzCyBxAmDzCyBxAl所以lM02020202:():lmAxByCzD1010101(),AxByCzDoM0M而(x0，y0，z0)不在轴L上，.0)DzCyBx(A)DzCyBx(A)DzCyBx(A)DzCyBx(A2222101010111112020202,0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl（3.8-1）的形式所以A1x0+B1y0+C1z0+D1,A2x0+B2y0+C2z0+D2不能全为零，因此平面π的方程可写为2020202:():lmAxByCzD1010101(),AxByCzD定理3.8.2如果两个平面0:,0:2222211111DzCyBxADzCyBxA为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,那么方程(3.8-1),即定义3.8.2空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束.0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl这个定理的证明类似于定理3.8-1，证明略表示平行平面束，平面束里任何一个平面都和平面π1或π2平行，其中l，m是不全为零的任意实数，且－m:l≠A1:A2=B1:B2=C1:C2.0)()(22221111DzCyBxAmDzCyBxAl推论:由平面π：Ax+By+Cz+D＝0决定的平行平面束的方程是：Ax+By+Cz+λ＝0其中λ是任意实数.例1求通过直线且与平面x+y+z-1＝0垂直的平面方程。0220122zyxzyx,0)22()122(zyxmzyxl即,0)2()2()2()2(mlzmlymlxml由两平面垂直的条件A1A2+B1B2+C1C2=0,得,0)2()2()2(mlmlml即,02ml因此),1(:2:ml所求平面方程为解设所求平面方程为：即.0433zx,0)22()122(2zyxzyx例2求与平面3x+y-z+4＝0平行且在Oz轴上截距等于-2的平面方程.解可设所求平面方程为：3x+y-z+λ＝0，因平面在z轴上截距为-2，所以这平面通过点(0,0,-2),由此得：2+λ＝0，∴λ＝-2，因此所求方程为：3x+y-z-2＝0例3试证两直线;0:,0:22222111111DzCyBxADzCyBxAl与,0:,0:44444333332DzCyBxADzCyBxAl在同一平面上的充要条件是.04321432143214321DDDDCCCCBBBBAAAA(3.8-3)证因为通过l1的任意平面为,0)()(2222211111DzCyBxADzCyBxA（3）其中λ1，λ2是不全为零的任意实数；而通过l2的任意平面为,0)()(4444433333DzCyBxADzCyBxA（4）同一平面,其中λ3，λ4是不全为零的任意实数.因此两直线l1与l2在同一平面上的充要条件是存在不全为零的实数λ1，λ2与λ3，λ4使（3）与（4）代表也就是（3）与（4）的左端仅相差一个不为零的数因子m，即)],()([)()(44444333332222211111DzCyBxADzCyBxAmDzCyBxADzCyBxA化简整理得,0)()()()(44332211443322114433221144332211DmDmDzCmCmCCyBmBmBBxAmAmAA所以;0,0,0,044332211443322114433221144332211DmDmDDCmCmCCBmBmBBAmAmAA因为λ1，λ2，λ3，λ4不全为零，所以得,04444443322221111mDmCmBmAmDmCmBmADCBADCBA而m≠0，因此两直线l1与l2共面得充要条件为.04321432143214321DDDDCCCCBBBBAAAA思考与练习:第139页:1.2.作业:第139页:3.4.6.