平面向量应用举例

第四节平面向量应用举例1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.问题类型所用知识公式表示线平行、点共线、相似等问题共线向量定理a∥b⇔___________⇔____________其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)a=λb(b≠0)x1y2-x2y1=0问题类型所用知识公式表示垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔________⇔___________a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ=______(θ为向量a,b的夹角)a·b=0x1x2+y1y2=0||abab(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).设向量运算还原平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若则A,B,C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()(4)在△ABC中，若则△ABC为钝角三角形.()ABAC，ABBC0＜，【解析】(1)正确.因为有相同的起点A，故A，B，C三点共线，故正确.(2)正确.解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题可利用向量的共线、数量积、模等知识解决，故正确.ABACAB,AC且(3)正确.由于向量的坐标把数和形结合在一起，所以在向量的应用中，坐标运算起到“桥梁”的作用.(4)错误.由可得角B为锐角，但三角形的形状不能判定.故不正确.答案:(1)√(2)√(3)√(4)×ABBC0BABC0＜得＞，1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos60°=28,所以|F3|=选D.A6B2C25D2727,2.若不重合的四点P，A，B，C，满足则实数m的值为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】PAPBPC,0ABACmAP，B.PAPBPCPAPAABPAACABAC3PA3AP,m3.0选，所以故3.在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足等于()(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】选B.由题意可知，BM2MA＝，CMCB则1CMCB(CAAB)CB31CACBABCB310323cos453.3＝＋＝＋＝＋＝4.在△ABC中，已知向量满足则△ABC为()(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰非等边三角形(D)三边均不相等的三角形【解析】选A.由知△ABC为等腰三角形，且AB＝AC.由知，〈〉＝60°，所以△ABC为等边三角形，故选A.ABAC()BC0ABACABAC12ABAC且，ABAC与ABAC()BC0ABACABAC12ABACABAC，5.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足则点P的轨迹方程是____.【解析】由得(x，y)·(1，2)＝4，得x＋2y＝4，即x+2y-4=0.答案:x＋2y－4＝0OPOA4＝，OPOA4＝，考向1向量在平面几何中的应用【典例1】(1)平面上O,A,B三点不共线，设则△OAB的面积等于()222222A||||()B||||()ababababOA,OBab，22222211C||||()D||||()22abababab(2)若等边△ABC的边长为平面内一点M满足＝__________.23，12CMCBCAMAMB63，则【思路点拨】(1)先求出cos〈a,b〉，再求出sin〈a,b〉，求出三角形的面积化简即可.(2)一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方法是将表示,然后用数量积的定义计算.MA,MBCA,CB用【规范解答】(1)选C.由条件得2222OAB·cos,,||||()sin,1cos,1()1,||||(||||)1S||||sin,2〈〉〈〉〈〉〈〉ababababababababababab2222222221()||||12(||||)1()(||||)(||||)2(||||)1().2ababababababababab(2)方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知A(0，3)，B(0),C(0).3－，3,Mx,yCM(x3,y)设，则，CB(23,0)CA(3,3).，12CMCBCA,6312(x3,y)(23,0)(3,3)(3,2),63x0y2,M(0,2).MA(01)MB(32).MAMB2.由得，点的坐标为＝，，＝－，－答案:-21211:MACACMCA(CBCA)CACB,63361225MBCBCMCB(CBCA)CACB,63361125MAMB(CACB)(CACB)363629方法二由于222275|CA|CACB|CB|.1836ABC23,1|CA||CB|12CACB232362275MAMB126122.91836又因为是边长为的等边三角形，，【拓展提升】平面几何问题的向量解法(1)坐标法.把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法.适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解.【提醒】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底.【变式训练】(1)如图，O，A，B是平面上的三点，向量设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量若|a|=4，|b|=2，则p·(a-b)=()(A)8(B)6(C)4(D)0OA，aOB，bOP，p【解析】选B.知|p-b|=|p-a|，∴|p-b|2=|p-a|2，p2-2p·b+b2=p2-2p·a+a2，得2p·a-2p·b=a2-b2=16-4=12，∴p·(a-b)=6.|BP|AP由||，(2)(2013·重庆模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,∠B=AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=()(A)1(B)2(C)3(D)4,4MAMD【解析】选B.如图，以点A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意知B(2,0),D(0,1),C(1,1).23131M(,).MA(,),222231MD(,),2231MAMD()2.24故考向2向量在三角函数中的应用【典例2】(1)(2012·陕西高考)设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()21ABC0D122(2)(2013·保定模拟)已知点A(1,1),B(1,-1),C(cosθ,sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点.①若求sin2θ的值；②若实数m,n满足求(m-3)2+n2的最大值.22|BCBA|2，mOAnOBOC，【思路点拨】(1)由向量垂直关系，可计算cos2θ的值.(2)①由得到关于θ的关系式，两边平方可求解；②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题求解.|BCBA|2【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cosθ)，b=(-1,2cosθ)，∵a⊥b，∴a·b=0，∴-1+2cos2θ=cos2θ=0，故选C.22222|BCBA||AC|(2cos1)(2sin1)22(sincos)4,22(sincos)42,2sincos,211sin221sin2.2①即两边平方得，mOAnOBOCmn,mn(2cos,2sin),mn2cos,mn2sin,2mcossin,22ncossin,2②由得解得222222m3nmn6m932sincos106sin()10,4sin()1m3n16.4当时，有最大值【互动探究】在本例题(2)的第①小题中，若将条件“”改为“”，则如何解答？【解析】|BCBA|2BCOABC(2cos1,2sin1)由条件知，222OA1,1BCOA2cos12sin10tan1.2sincos2tansin22sincos1.sincostan1，由得，【拓展提升】向量与三角函数综合题的答题策略(1)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数,并且求有关的三角函数问题，解题时首先利用向量相等、共线或垂直等将问题转化为三角函数的关系式，然后利用三角函数的知识解决.(2)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数,并且求向量的模或其他向量的表达形式，解题时要通过向量的运算，将问题转化为三角函数的有界性，求得最值(或值域).【变式备选】(1)已知向量a=(cosα,-2)，b=(sinα,1),且a∥b，则2sinαcosα等于()【解析】选D.由a∥b得cosα=-2sinα，44A3B3CD552221tan.22sincos2tan42sincos.sincostan15(2)已知A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈().①若求角α的值；②若的值.322，ACBC||＝||，22sinsin2ACBC11tan＋＝－，求＋【解析】①∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又∵α∈()，∴α＝ACBC2AC2BC22ACBCACBC由||＝||，可得＝，322，5.4②由得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝∴2sinαcosα＝ACBC1＝－，2.349，5.9－222sinsin22sin2sincossin1tan1cos52sincos.9＋＋＝＋＋＝＝－考向3向量在解析几何中的应用【典例3】(1)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，点P为坐标平面内一动点，且则动点P(x，y)到点M(－3，0)的距离d的最小值为()(A)2(B)3(C)4(D)6|MN||MP|MNNP0，(2)在平行四边形ABCD中，A(1，1)，=(6,0)，点M是线段AB