平面向量期末复习

1数学必修4平面向量复习一基本概念:1.向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．零向量：长度为0的向量．2.单位向量：是模（长度）为1的向量，若其坐标为(x，y)，其中x，y满足x2+y2=13.平行向量ab（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行，0a．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5．向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a=OA=xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=OA=(x，y)．二、向量运算：向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,OOxxyy．注意：正反思维：BCACACBC反之CCCACB反之向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．平面向量的数量积：1．向量的夹角：向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a和b的夹角．2.数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．即cosabab1212xxyy3性质：设a和b都是非零向量，则①当a与b同向时即θ=0°，abab；当a与b反向时即θ=180°，abab；⑶22aaaa或2aaaa．③abab．2222222b()2;b()2aabaabbaabaabb4运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．5.特别注意：①向量的投影：向量b在a方向上的投影是：|b|cos②当为锐角时，0ab且a与b不同向；当为钝角时，0ab且a与b不反向；当=90时，0ab③数量积不适合乘法结合律如(ab)ca(bc)(∵(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线)．④．数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且ac=bc，并不能得到a=b．三、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．1．不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为,xy则11,xxyy2222,(),()xxyyxxyy∴1212()()xxxxyyyy121211xxxyyy当1211221P2xxxyyy2时，P中点坐标公式四、向量的应用：（一）求长度①若,axy，则222axy，或22axy②两点间的距离：若11,Axy，22,Bxy，2121(,)ABxxyy,222121()()ABxxyy（二）证垂直：向量垂直的条件：121200ababxxyyababab；（三）向量平行(共线)的充要条件：①向量0aa与b共线即ab，存在唯一实数，使ba12210xyxy②三点A、B、C共线ABBC、共线()()()()0BACBCBBAxxyyxxyy()(1)1BCABOCOBOBOAOCOAOBOCxOAyOBxy=且(四).求向量夹角：是a与b的夹角，设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，baCabCC2则121222221122cosxxyyababxyxy．注意：的范围：0180五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1、2；使得a2211ee。2、向量的模：a＝aa＝22yx；非零向量a与b的夹角：cos222221212121||||yxyxyyxxbaba3、向量平行：a∥bba1221yxyx；向量垂直：a⊥b0ba02121yyxx三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式1）O是ABC的重心0OCOBOA;若O是ABC的重心，则,31ABCAOBAOCBOCSSSS故;,0OCOBOA1()3PGPAPBPCG为ABC的重心.2）O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则,tan:tan:tan::CBASSSAOBAOCBOC故0tantantanOCCOBBOAA3）O是ABC的外心)(222OCOBOAOCOBOA或若O是ABC的外心,则CBAAOBAOCBOCSSSAOBAOCBOC2sin:2sin:2sinsin:sin:sin::故02sin2sin2sinOCCOBBOAA4）O是内心ABC的充要条件是0)()()(CBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CABCAB,,的单位向量为321,,eee，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0)()()(322131eeOCeeOBeeOAO是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC::::故0sinsinsin0OCCOBBOAAOCcOBbOAa或;||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心;向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；六、基础训练（1）已知3,2ba，且4ba，则向量b在向量a上的投影为（2）已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________.（3）非零向量a和b满足：||||||abab，则a与ab的夹角等于.七、典例讲解.例1.已知(1,2)ABa，(3,2)BCb，(6,4)CD（1）证明：,,ABD三点共线.（2）k为何值时，①向量kab与3ab平行②向量kab与3ab垂直例2、平面内有向量OAOBOP（1，7），（5，1），（2，1），点Q为直线OP上一动点，1）求QAQB取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求cosAQB的值。例3.已知向量(sin,1)a，(1,cos)b，(,)22（1）若ab求的值。（2）求ab的最小值.（3）求函数)(fy=a·b的单调增区间3QPACB八、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且AP=PB，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，52D．5，522、向量a，b满足6a，10b，则ba的取值范围是．3、已知6a，8b，10ba，则ba．4、已知a1e+2e，b２1e－2e，则向量a+2b与2a－b（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当1e与2e共线时共线D、仅当1e=2e时共线5、已知ABC顶点A（―1，12），B（2，3）及重心坐标G（1，12），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且2PAOP，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知|a|=|b|，ab，且（a+b）（ka-b），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知(1,2),(1,1)ab，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________-9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及ABtOAOP，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、已知1a，2b，且a与b的夹角为060（1）求ab，2(2)ab，3ab（2）证明：ab与a垂直11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）（1）若|c|=25，且c‖a，求c的坐标（2）若|b|=25，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角.12、已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，（Ⅰ）判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BPCQ的最大值．平面向量A组（1）如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)ab(B)1ab=(C)22ab(D)ab（2）在四边形ABCD中，若ACABAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（）(A)（12，5）(B)（-2，9）(C)（3，7）(D)（-4，-1）（4）已知正方形ABCD的边长为1，ABa，BCb，ACc，则abc等于()(A)0(B)3(C)2(D)224（5）已知3a，4b，且向量a，b不共线，若向量akb与向量akb互相垂直，则实数k的值为．（6）在平行四边形ABCD中，ABa，CBb，O为AC与BD的交点，点M在BD上，13BMOD，则向量BM用a，b表示为；AM用a，b表示为．（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为．（8）三个力1F，2F，3F的大小相等，且它们的合力为0，则力2F与3F的夹角为．（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．（10）已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，(2,)OAm，(,1)OBn，(5,1)OC，且OAOB，求实数m，n的值．B组（11）已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且32OAOBOP，则()(A)点P在线段AB上(B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上(D)点P不在直线AB上（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且BCa，CAb，ABc，则①EF1122cb，②BE12ab，③CF1122ab，④0ADBECF中正确的