平面向量的加减法

2.2平面向量的运算2.2.1平面向量的加法问题1：向量能进行运算吗？请举例说明．提示：能，如力的合成．问题2：如果两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？提示：F1＋F2＝0.新课讲解问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗？在竖直方向上有速度吗？提示：有．问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方向运动？提示：力的合力不在这两个方向上．1．向量加法的定义求的运算，叫做向量的加法．2．求向量和的方法两个向量和(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量叫做a与b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．ACAC一、向量加法的定义和法则(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b，作OA＝aOB＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则的对角线OC就是a与b的和，如图．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝＋＝.以O为起点0aa问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？提示：满足．问题2：你能验证向量也满足结合律吗？提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．二、向量加法的运算律(1)向量加法的交换律：a＋b＝；(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝.b＋aa＋(b＋c)1．对两种求向量和的方法的理解．(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC=AB＋AD（平行四边形法则，AC＝AB＋BC(三角形法则)．深化理解(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意两向量起点相同．(4)三角形法则可以推广为多边形法则，即对于几个向量，有01122310nnnAAAAAAAAAA，这可以称为向量加法的多边形法则．2．在向量加法的三角形法则中，可得|a|＋|b|≥|a＋b|.其中，“＝”在有一者为零向量或两个向量共线且方向相同时取得．[例1]如图所示，已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c.例题讲解[精解详析]法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b；然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA、OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b.再以OD、OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．1．如图，已知平行向量a、b，求作a＋b.解：作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b就是求作的向量．跟踪练习2．小船向正东方向行驶了10km，又沿北偏东30°方向行驶了15km，作出小船两次的合位移．解：用AB表示向正东行驶10km的位移，BC表示沿北偏东30°方向行驶了15km的位移，则AC表示小船两次的合位移(如图)．[例2]化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.例题讲解[精解详析](1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.1．正方形ABCD的边长为1，则|AB＋AD|为()A．1B.2C．3D．22解析：正方形ABCD中，AB＋AD＝AC∴|AB＋AD|＝|AC|＝2.答案：B跟踪练习2．化简下列各式：(1)PB+OP＋OB2AB＋MB＋BO＋OM解：1PB＋OP＋OB＝(OP＋PB)＋OB＝OB＋BO＝0.2AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋BO＋OM＋MB＝AO＋OB＝AB.[例3]船在静水中的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．例题讲解[精解详析]作AB＝υ水，AD＝υ船，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则AC＝υ实际，如图由题意可知∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，|AB|＝|υ水|＝10m/min，|BC|＝|AD|＝|υ船|＝20m/min，∴cos∠ABC＝|AB||BC|＝1020＝12，∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向与水流的方向成120°的角．1．一艘船以8km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水流的原因，船的实际航行速度的大小为45km/h，则水流速度的大小为________．解析：由题意可知，水流速度的大小为452－82＝4(km/h)．答案：4km/h跟踪练习2．如图，一架飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行．已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A，C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离．解：根据题意可知∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|＝300km，则可得|BC|＝3002km.又由于∠ABC＝45°，A地在B地东偏南60°的方向处，可知C地在B地东偏南15°的方向处．即飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B、C两地的距离为3002km.2.2.2平面向量的减法问题1：一个数a的相反数是什么？提示：－a.问题2：一个向量有相反向量吗？提示：有，向量a的相反向量是－a.新课讲解相反向量与a的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量；(2)－(－a)＝；(3)a＋(－a)＝＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝，b＝，a＋b＝.长度相等，方向相反仍是零向量(－a)＋a－b－a0a问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？提示：是零向量．问题2：根据向量加法，如何求作a－b?提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．向量减法的定义和法则向量的减法(1)定义：a－b＝a＋，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从指向的向量．(－b)相反向量BA向量b的终点向量a的终点1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，深化理解和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线所对应的向量(AC)，而差向量是另一条对角线所对应的向量(DB)，方向是从减向量的终点指向被减向量的终点；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．[例1]化简：(AB－CD)－(AC－BD)．例题讲解[精解详析]法一：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.法二：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC－AC－DB＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.法三：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.1．在平行四边形ABCD中，AB＋CB－DC＝()A．BCB．ACC．DAD．BD解析：如图∵CB＝DA，∴AB＋CB－DC＝AB＋DA－DC＝AB＋CA＝CA＋AB＝CB＝DA.答案：C跟踪练习2．如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____，a＋b＋c－d＝____.解析：a＋b＝AB＋BC＝AC＝－f；b＋c＝BC＋CD＝BD＝－e；c－d＝CD－AD＝DA－DC＝CA＝f；a＋b＋c－d＝AB＋BC＋CD－AD＝AD－AD＝0.答案：－f－ef03．化简：(AB＋PC)＋(BA－QC)．解：法一：原式＝(AB＋BA)＋(PC＋CQ)＝0＋PQ＝PQ.法二：原式＝AB＋PC＋BA－QC＝(OB－OA)＋(OC－OP)＋(OA－OB)－(OC－OQ)＝OQ－OP＝PQ.[例2]如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝BA，c－d＝DC，并画出b－c和a＋d.例题讲解[精解详析]因为a＋b＝BA，c－d＝DC，所以a＝OA，b＝BO，c＝OC，d＝OD；如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA，根据平行四边形法则可得：b－c＝EO，a＋d＝OF.1．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作以下向量并分别求模．(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.跟踪练习解：(1)如图，由已知得：a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝22.(2)作BF＝AC，连接CF，则D、C、F共线，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.2．如图所示，O为△ABC内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c.求作b＋c－a.解：法一：如图①以OB、OC为邻边作▱OBDC，连接OD、AD，则OD＝OB＋OC＝b＋c，AD＝OD－OA＝b＋c－a.法二：如图②作CD＝OB＝b，连接AD，则AC＝OC－OA＝c－a，AD＝AC＋AC＝c－a＋b＝b＋c－a.[例3]已知任意四边形ABCD，E是AD的中点，F是BC的中点，求证：AB－EF＝EF－DC，例题讲解[精解详析]如图，在四边形CDEF中，EF＋FC＋DC＋DE＝0，∴EF－DC＝CF＋ED，在四边形ABFE中，AB＋BF＋FE＋EA＝0，∴AB－BF＝FB＋AE，又E、F分别是AD，BC的中点．∴CF＝FB，ED＝AE，从而CF＋ED＝FB＋AE.∴EF－DC＝AB－EF1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．跟踪练习证明：∵AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，又AB＝DC，BE＝FD.∴AE＝FC，即AE与FC平行且相等，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，已知点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用a、b、c表示OD.解：因为OA＝a，OB＝b，OC＝c，则BC＝OC－OB＝c－b，又AD＝BC，所以OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝a＋c－b.2.2.3平面向量的数乘运算问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？提示：按三角形法则，|a＋a|＝2|a|.问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？提示：可以．问题3：3a与a的方向为什么关系？－3a与a的方向呢？提示：3a与a方向相同，－3a与a方向相反．问题引入向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝；(2)λa(a≠0)的方向当λ＞0时，与a方向，当λ＜0时，与a方向.特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝.向量|λ||a|相同相反00新课讲解一、向量的数乘运算定义和法则根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及数乘的定义，回答下列问题：问题1：3(2a)与2·(3a)是否等于6a?提示：是的．问题2：(3＋2)a＝3a＋2a成立吗？提示：成立．问题3：2(a＋b)与2a＋2b是否相等？提示：相等．二、向量数乘运算的运算律若设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝；(2)(λ＋μ)a＝；(3)λ(a＋b)＝.特别地，(－λ)a＝＝，λ(a－b)＝.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(