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河北阜城中学高一数学学案组题人：王春艳审核人：高一数学组使用日期：-1-平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1、了解向量的实际背景，会用字母表示2、向量的几何表示。3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量，相反向量的概念。【知识梳理】1．向量和数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作AB.(2)有向线段包含三个要素：、、3．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时用a→，b→，c→…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.4．向量的模及两个特殊向量(1)向量的长度(模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|.(2)两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．(2)平行向量：①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b.②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a.③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．题型一、向量的有关概念【例1】下列说法正确的是()A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量AB与向量BA是两平行向量D．单位向量都相等【变式训练】1.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与向量BA相等．以上命题中，正确命题的序号是()A．①B．②C．①③D．②③2.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．其中不正确的命题是________．题型二、向量的表示【例2】(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．河北阜城中学高一数学学案组题人：王春艳审核人：高一数学组使用日期：-2-(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.题型三、共线向量或相等向量【例3】如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量AB共线的向量；(2)找出与向量AB相等的向量．【变式训练】如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH相等的向量有________；(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．【练习反馈】1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是()A．1B．2C．3D．42.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是A.PR与QRB.AR与RCC.RA与CRD.PA与QR3．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．4、给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝CD→，BC→＝DA→.其中正确命题的序号是________．5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________.6.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．