固体热传导问题的变分原则

固体热传导问题的变分原则’葛新石郭宽良孙孝兰工程热物理专业摘要在用有限元方法求解热传导简题时,首先应得到一个有限元法出发的方程—或是泛函形式,或是某个积分表达式。在数学上解决这类朋题,权余法是一个有效的工具。本文着重通过对物理现象的分析,筒要粽述了基于嫡源强度最小原理、局部势及耗散函数等建立的固体热传导周题的变分原别和权余法比较,其物理含义较为道观。固体中的热传导周题,主要是在拾定的初始条件及边界矢件下确定温度随时朋和空阴变化的关系。对于几何形状筒单的物休如平板,圆柱、圆球等,众所周知,这类阴题可以得到较满意的分析解〔‘么’但是在工程技术中所遇到的大量热传导题,物体的何形状都比较复杂如淌翰气冷叶片等,而物体的热传导系数,比热等物性参数又往往随温度而变另外,边界条件的某些参数如物体和周围环境之简的换热系数、周围环绳温度等也可能和时简有关。因此,要求解这类非撇性的热传导简题,目前唯一的途径是近似方法,其中数值方法占有特别重要的地位。近年来,利用有限元法求解热传导周题得到了很快的发展,大量实践表明,它是一种有效的算手段。在利用有限元法时,都是从和描述物理现象的微分方程包括边界条件相等价的一个变分周题或一个积分表达式出发。后者可用权余法如法获得〔“‘,’关于建立泛函,有两种情况。第一种情况是,微分方程中的算子是技性和自伴的,此时,寻求与微分方程相等价的变分阎题不发生任何困难〔“,’第二种情况是,微分方程的算子不具接性和自伴的性鬓,对这种情况,严格符合翘典变分舒算中所定义的泛函是不存在的。但是,对被研究的境象从物理上进行分析,可以找出判断视象总的进展趋势的某一个准,据此得到与微分方程相等价的泛函极值尚题。虽然在对这种泛函进行变分补算时不能严格遵守樱典变分补算中的规则,但它仍可作为直接爵算方法如有限元法、法’,“等出发的方程。本文主要从分析物理现象来粽述固体热传导简题的一些变分原刻,而这种方法,对从事热物理工作和工程技术的人具来税是更为道观的。本文承中国科学院力学研究所付研究具局同泽同志及中国科大近代力学系副主任王群同志审阴,在此表示谢意。一、有关不可逆过程热力学的几个签本概念固体中的热传导只是在有温差时才能发生,因此,是典型的不可逆过程。下面将粽述的一些固体热传导简题的变分原则,大多以不可逆过程热力学为基础为此,本节扼要叙述不可逆过程热力学的几个基本概念〔夕一,大量的不可逆过程,其因果关系一般都符合换性规律。如,热传导定律表明,热流和温度梯度成比例,蔽比例系数为热传导系数牛顿定律表明,流体内的枯性力和速度梯度成比例,蔽比例系数为粘性系数等等。在不可逆过程热力学中,将引起不可逆砚象的原因如滥度梯度、速度梯度等称为“力”,以,二,,一,表示。由“力”导致的相应不可逆现象的数量上的特征称为“流”如热流、粘性力等,以,表示。在“力”,和“流”,之简一般存在着袋性关系。根据不可逆过程热力学的理渝,一个系杭就其整体来靓虽然处在不平衡状态,但粗成系就的各个局部,仍可以韶为是平衡的,也即这些局部可以用一定的摄度、压力及其它热力学状态参数来表示。允静作这个假毅的前提是从宏观上看,这些局部必填远远小于整个系就虽然如此,它却仍然包含大量介置。系就偏离平衡状态很小。究竟怎样才算偏离平衡状态很小,只能用就爵的方法来确定。对于气体,祥翩的静算指出,如果温度或其它参数在自由路程上的变化远远小于温度或其它参数值本身,就可韶为满足。由于在标准条件下自由路程的长度为一牛厘米,故上述理蒲的适用范围实际上是很大的。不可逆过程热力学应用了下述几个前提条件虽然一个系就正在粗历着不可逆过程,但平衡热力学的基本方程仍可适用于这个系枕的局部平衡部分系挑的嫡的变化是系杭各局部的嫡的变化之和。“流”和“力”之简是技性关系,即,二一乙乙,,,才式中,,称为现象系数。现象系数是对称的,也即符合的对称关系,之“·二呼如,对于各向异性的晶体中的热传导,我侧可分别写出二,,三个方向的“流”为“乙乙,,一乙乙,乙。乙,表明,每个方向上的热传导,都受到另外两个方向的影响。根据的对称关系,交错的系数相等,即、!户‘自,口几‘二。皿乙乙乙一乙乙乙乙乙从物理意义来解释,交错系数相等即表明在各向异性的晶体中的热流的相互影响是对称的。系就的嫡源强度‘单位时简内单位体积所产生的嫡可由下述形式表示。一乙,笼因此,嫡源强度是一粗由“流”,乘上相应的“力”义,所粗成的二次函数。是热力学第二定律的一种叙述方式只是在系就处于平衡状态或铿历可逆变化时,嫡源才消失当系杭视历不可逆变化时,嫡源强度恒大于零。二、基于嫡源强度最小原理的变分原则基于嫡源强度最小原理的变分原刻之注,二“’只适用于稳态及现象系数为常数的情况,因此,它的应用有着很大的局限性,但它却清楚地靓明了如何从分析物理现象出发,找出判断现象总的进展趋势的准来建立变分原的方法。另外,引入嫡源强度最小原理一也有助于尉箭非稳态及非枝性的热传导简超,故我佣首先从介貂这个原理开始。境甜豁固体的热传导简题。毅物体边界上的温度是规定了的,它可以是空简坐标的函数。如果忽略热膨胀,根据热力学第一、第二定律,有石,万丁一宁窟以了。氏日不,一‘,令’式中一密度,。一定容比热,,一热流密度了一单位胃量的嫡卜温度,一时简。由及可得,鲁一奋“·,‘一“·令,‘二劲一“·,,·‘·,其中一亩梦了一一不万丈了、吓一吸不只二一、,一么甲一式称为嫡的平衡方程。它表明嫡的变化速率是由于一个负的嫡流散度一及物体中存在一个强度为武,的嫡源迭加的枯果。换言之,系抚的嫡的变化逮率是由系扰和外界之简有热量交换而引起的嫡流及系就本身因发生热传导这个不可逆过程而出现的嫡源所决定的。如将可勃看成是“力,,,,看成是“流”,嫡源强度,的表达式和、上式有相同的形式。式可改写为气少一五一吸耳以浑、三又,考虑到“流”和“力”之简的接性关系口,夕。。几一云沙“介,式中。。为境象系数。整个物体的嫡的产生将是,,,了,己尸一“一“‘’孤万丁‘厂一气“”“白藏丁溉球式中为物体的容积。如果物休和外界不发生热交换且处于平衡状态,如其内部不存在温差,因而不存在热传导现象,必须为零。当物体处在不平衡但稳定状态下,嫡不随时简变化,此时,式的左端为零。但由于进入物体的热量和自物体流出的热量是在不同的温度下进行的,因此,虽然流人和流出的热量相等,但流出物体的嫡比流入物体的嫡要大,即系枕有一个复的嫡流,而其大小正好由式所表示的物体内的嫡源所产生的嫡来补偿。此时,为一恒定值。显然,整个物体所产生的嫡的大小可以用来度量不可逆过程进展的程度。如果不存在外界的张制矢件,则物体将随着时简的延长而到达平衡状态,、也即物体和外界之简无嫡流存在,而物体内部的嫡源也随之消失。当在物体的边界加上一定的强制条件的情况下,在满足强制条件的同时,随着时简的延长,物休将达到稳定状态,它在物体樱历过的藉状态中是最接近平衡状态的。因此,‘色所产生的嫡将减小到最低限度。此时,具有最小值,而它的一次变分占一由得“尸一似,一聂资〕‘一”。,。,。‘,。,,,,一,。、,‘、,,卜,,、仪钻以寸笼一江恰朋目刀悦玛号、狱二石汗刀可水详效、奇卜。。奇奋」十·最几口一卖、一李奇争一或奇,,·命斋一。如果现象系数是常数,上式第二项为零,得口,‘一一一护!∀口劣亡(2.11)由(2.1)式知,上式相当于稳定状态口T~一二二--一U0t(2,12)O司一、毛、.,/为简化害写,口~_了己6.乙以丽一衣叭而一十一丙-十头90-这就敲明:稳定状态确可山整个物休内生产的嫡为最小值所标志。因此,如果现象系级厂是常数,8lJ(2.8)式是稳定态热传导周题的一个泛函。又,根据付里叶定律有,己T宁·二一纪-万一口劣i(2.13式中左为热传导系数。改写(2.7)式为口Tq,-一乙口。嘴r云巴l以工才将上式和(2.13)比较,得乙。,,一左T最后可写为(2.14)由(2.14),泛雨(2.8):一{;*:2(奇李)“浮。一},贵(会)“V(2.15)不难看出,在偏离平衡状态不远的情况下,兀。。就可取平衡状态时之值,这时泛雨的形式和稳定态时场周题常见的泛画形式是一致的。但必须指出,如果现象系数无。。不是常数,只JJ(2.10)式左端第二项不为零,根据(2.5)式的被积函数所得到的欧拉一拉格朗日方程必定和描述稳定态热传导现象的微分方程不相同,嫡源强度最小原理就失效了。因此,应用嫡源强度最小原理时必须遵守上面提及的一些限制,故它的使用范围比较局限。三、局部势(广义的嫡的生产)局部势,也称广义的嫡的生产〔‘么一‘干’,和嫡源强度最小原理相比,它的使用范围鼓大.也即它不仅可应用于非稳态,且可应用于非犊性的情况。局部势和系抚的嫡的生产有着密切的关系。如果对(2.8)式求嫡的生产p对时简的导数,HlJ可以把p随时阴的变化分成两部分日,P.己‘,P一-二‘一.针--二二一at口t(3.1)6P一氏定义愁介上补势‘「厂丫一!:,黔/鲁“F(3.2)(3.3)丫及等分别表示因“力”及“流”的变化所引起的嫡的生产的变化。可以就明,在不可逆过程的进展中,“力”随浏阴的变化总是使嫡的生产随时简减小,也即a、P日渗戈0(3.4)为此,奥粤可作为判断过程进展趋势的一个准别,并且,上式对非换性过程同样正确。‘产不对热传导简题,可写出能量方程为__口T口尸‘V.石丁一履刃~q‘(3。5)在上式左右两端乘以会。e。鲁告可得备奋一奇(夕了61\.己01花乏丁叫石万J十q矛月石丁一二石丁下否U‘通,以苏i以不1(3.6)令上式左端为价,有J__,口Tel___pcv了口了、盔/八w一尸‘“~百厂百丁了一一不砰厂火下丁/食u(3.7)价具有半真定性臂(成0)是显然的,因c八p、T都是正的。这样,可以按下式定义一个函数巾二f,,_,「r6/己1、.日611,,,/。’F一J。望‘F一J;L一石刃火q‘不了)卞q‘,.瓦丁下下」‘犷、U(3.8)由于达到稳定态时中为零,故我俐可用它来衡量物体偏离稳定状态的程度。根据高斯公式,(3.8)中被积函数的第一项等价于一个面积分,故可改写(3.8)式为币「日1,.f日日1,,,/。甲一J、q‘百了九“了十J。q‘百万百了丁‘F气U(3.9)式中s为物体的边界面积,,,为边界s的外法撒方向的单位矢量。如果边界上的温度不随时简变化,IlJ上式的面积分项为零,故二「日己1,,,,‘岁一J,全‘不.瓦万了‘F气U(3.10).,二._,___、,_,__、~,___、~一_,,,~一“~二__一~_~“,_。.6比蚁峪.lu)相临.却,翔峪.10)厌我不的是保泞一流一小父愉况卜四一刀一王厂一以劣了去的变l化而引起的嫡的生产的变化,形式很紧凑的准IlJ,它表明,故靓明(3.4)成立。(3.4)是钊断耗散系就进展趋势的一个“力,,如(3.10)中的q,以换性关系的变化总是使嫡的生产减小。(2.7)代入,HlJ有,(I‘,日1\日了口1\,,,fl,白了日1\a,,,/。岁一J;火‘“口百石~丁)百火石不~了)“F一J:百‘口“下火五万了)‘F戈”(3.11)在一般情况下,L。。是温度的函数,因此,在过程进展中它的值也是变化的。如毅系就偏离稳定状态很小,并毅稳定状态时物体的温度分布为T。(二,).这样,作为近似,有乙。。(T)会乙。。(T。),故(5.11)可写成币_口ffl,,~、/口1\.,,,1_/。‘一而LJ;百‘’‘、上。’火不万了/“犷J、U(3.12)将上式方括号中的体积分定义为E:一l二专:。。(:。)瞬奋)“V(3.13)称为局部势或广义的嫡的生产,上式即为用局部势方法得到的稳定态热传导尚题的泛函形式。类似于力学中的变分简题,(3.13)的被积函数可称为拉格朗日函数“T,T。,一古“。。‘T。,(奇李)“(3.14)很清楚,E只能随时简而减小。在稳定状态时,必为零,而E具有最小值。但必须指出,上述拮果之获得需要有一个重要的前提,即L。。(T。)是相当于稳定态时的值。因此,在进行变分静算时,它是个定值。这样,在泛函中的被积函数内出砚了两类温度,一类是T,它是待求函数;另一类是T。,虽然这个函数尚是未知的,但我