时势造英雄还是英雄造时势(马哲课堂展示ppt)

初中数学分类讨论思想例题简析（一）剑门中学------何俊平分类讨论思想是数学中重要的思想和一种解题方法，旨在考查我们思考问题的逻辑性、周密性和全面性，分类讨论问题也属于创新性问题，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类：如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类：各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级有序进行．④以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.下面列举初中数学几何中常见的几种分类讨论思想的问题，供同学们借鉴。一、与线段有关的分类讨思想的应用——线段及端点位置的不确定性需讨论。例1、已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA︰CB=3︰2或3︰4。解析：分点C在线段AB的延长线上和线段BA的延长线上两种情况求解。尝试1、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.二、与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性需讨论。例2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=20°或50°。解析：分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解。尝试2、已知oAOB60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。三、三角形中分类讨论思想的应用常见的有以下四种类型：①因三角形的形状不确定而需分类讨论；②因等腰三角形的腰与底不确定而需分类讨论；③因直角三角形的斜边不确定而需分类讨论；④因相似三角形的对应角(或边)不确定而需分类讨论。1、三角形的形状不确定需分类讨论例3、△ABC的边AB为15cm，边AC为13cm，边BC上的高AD为12cm,求此三角形的面积。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当△ABC的高在形内时，由勾股定理易得BC=BD+CD=9+5=14，所以84ABCS2cm。如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。由勾股定理易得BC=BD-CD=9-5=4，所以24ABCS2cm。故△ABC的面积为842cm或242cm.尝试3、在△ABC中，∠B=28°，AD是BC边上的高，且CDBDAD2.求∠C的度数。2、等腰三角形的分类讨论：①在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以需分类讨论。例4、已知等腰三角形的两边长是方程030112xx的两根，则它的周长是_16或17_。若等腰三角形的一边为3，另一边为6，则它的周长等于_15_。解析：方程的两根为5,和6，需分腰为5，底为6和腰为6，底为5两种情况讨论，并且还要考虑三边之长是否满足三角形的构成条件。尝试4、若等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为15cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底长为。②在等腰三角形中求角：等腰三角形的一角可能是底角，也可能是顶角，所以需分类讨论。例5、已知等腰三角形的一个内角为65°则其底角为65°或57.5°。已知等腰三角形的一个内角为95°则其底角为95°。解析：当已知角为锐角时，它既可以是等腰三角形的顶角，也可以说等腰三角形的底角；当已知角为直角或钝角时，它只能是顶角。尝试5、a、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则它的顶角为。b、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50°，则∠B=_______。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例6、已知x，y为直角三角形两边之长，满足06522yyx，求第三边的长。解析：由题意可得02x且0652yy，分别解这两个方程，可得满足条件的解为x=2,y=2,或x=2,y=3.由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当两直角边长分别为2，2时，斜边长为22；当一直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5；当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。综上，第三边的长为22或5或13。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而需分类讨论。例7、如图，在ABC△中，64ABACP，，是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若△APQ和△ABC相似，求AQ的长。解析：因△APQ和△ABC有公共角A，由相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：①作PQ∥BC，则△APQ∽△ACB，于是有AQAPABAC，即264AQ，解ACBPABCDNEM得3AQ；②作APQABC，交边AB于点Q，则△APQ∽△ABC，于是有AQAPACAB，即246AQ，解得43AQ.则AQ=3或43。尝试6、正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM=时，△ABE与△DMN相似。四、与圆有关的分类讨论思想的应用1、圆周角的顶点位置不确定需分类讨论。例8、在半径为5cm的⊙O中，弦AB=5cm，点C是⊙O上任意一点（不与A、B重合）。则∠ACB=30°或150°。解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，∠ACB=30°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=150°.2、两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。例9、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB∥CD，则AB和CD之间的距离为1cm或7cm。解析：分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算。3、两圆相切，内切、外切不确定需分类讨论。例10、若两圆相切，圆心距为7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为3或11.尝试7、已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以点P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径是。4、相交两圆的圆心与公共弦的位置不确定需分类讨论。例11、已知⊙1O和⊙2O相交于A、B两点，弦AB为6，两圆的半径分别为32，5，则圆心距21OO=1或7.解析：分两圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况计算。分类讨论思想在代数及代几综合中的运用将在后期举例分析。