2、圆锥曲线―双曲线(教师版)

1圆锥曲线同步练习—双曲线一、基础知识（一）基本概念双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)OxyP1F2FxyPxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyP2焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cac2焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xabyxbay共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）（二）、基本方法1.双曲线的定义①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当aMFMF212时，则表示点M在双曲线左支上；②注意定义中的“（小于12FF）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即2121FFMFMF,当2121FFMFMF，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当2112FFMFMF时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；若2a＞2c时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.3对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的内外部(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.4.形如)0(122ABByAx的方程可化为11122ByAx当01,01BA，双曲线的焦点在y轴上；当01,01BA，双曲线的焦点在x轴上；5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.6.离心率与渐近线之间的关系222222221ababaace1）21abe2）12eab7.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.(4)与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0(新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(5)与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax(6)当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；8.直线与双曲线的位置关系4直线l：)0(mmkxy双曲线C：12222byax（a＞0，b＞0）12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab1)当0222kab，即abk时，直线l与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；2)当b2-a2k2≠0，即abk时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)①0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点②0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0时，直线l与双曲线相离，无公共点3)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）9.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线l：)0(mmkxy双曲线C：12222byax（a＞0，b＞0）①联立方程法：12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy2)(212121，2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak215或2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点),(00yxM,2210xxx，2210yyy②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入双曲线方程，得1221221byax1222222byax将两式相减，可得2212122121))(())((byyyyaxxxx)()(2122122121yyaxxbxxyya.在涉及斜率问题时，)()(212212yyaxxbkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，02020202212122yaxbyaxbxxyy，即0202yaxbkAB，10.焦点三角形面积公式：)(,2tan21221PFFbSPFF。二、基本题型（一）与定义有关的题型：例题分析1、已知F1,F2为定点，)0(,2||||||21aaPFPF，则动点A的轨迹是[D]A.焦点为F1，F2的双曲线B.不存在C.以F1，F2为端点且方向相反且无公共点的两条直线D.以上都有可能2、已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于[C]6A.2B.332C.2D.43、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（C）A．36B．4C．2D．14、设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（B）A．63B．12C．123D．245、过双曲线22143xy左焦点1F的直线交曲线的左支于MN，两点，2F为其右焦点，则22MFNFMN的值为___8___．6、P是双曲线22xy1916－＝的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（D）A.6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B7、已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则12||||PFPF.【解析1】.由余弦定理得cos∠1FP2F=222121212||||||2||||PFPFFFPFPF22221212121201212222221cos60222PFPFPFPFPFPFFFPFPFPFPF712||||PFPF48、已知：双曲线的两个焦点为)13,0(1F，13,02F，其上一点P满足24||||||21PFPF，求双曲线方程。答案：151222xy。基础练习一1、双曲线14122222mymx的焦距是[C]A.4B.22C.8D.与m有关依题意可知441222bac，故选C.2.双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m(A)A．14B．4C．4D．143、.如果双曲线2422yx＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A)(A)364(B)362(C)62(D)324、过双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______32155、.以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】98（二）与标准方程有关的题型：例题分析1、已知方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是[D]A.-1k1B.k0C.k≥0D.k1或k-12、.若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的(A)（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.3、在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为（Ａ）A．5B．52C．3D．24、设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为221169xy5、.曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm的(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同【解析】由221(6)106xymmm知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由221(59)59xymmm知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。(A)1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx6、若方程14922kykx表示双曲线，则实数k的取值范围是94kk或9基础练习１、在双曲线的标准方程中，已知a=6,b=8.则其方程是[D]A.1643622yxB.1366422yxC.1643622xyD.1643622yx或1643622xy2、设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（Ｃ）Axy2Bxy2Cxy22Dxy213、双曲线1422ykx的焦点坐标为0,4k；4、求符合下列条件的双曲线的标准方程：①a=25,经过点A(-5,2)，且焦点在x轴上；②过两定点(3,415),(316,5)。答案：（1）1162022yx；（2）119922xy。（三）与离心率有关的题型：例题分析：1．已知双曲线22221(0,0