2018年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

第1页（共16页）2018年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B=（）A．{4，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，4，5}D．{3，4，5}2．（5分）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．（5分）设z=﹣+i，则z2+z=（）A．﹣1B．0C．1D．24．（5分）若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（）A．﹣1B．0C．D．15．（5分）已知α为第二象限的角，且tanα=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．6．（5分）已知a+b＞0，则（）A．2a＜（）bB．2a＞（）bC．2a＜2bD．2a＞2b7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（）A．B．C．D．8．（5分）f（x）=ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（，+∞）D．（2，+∞）9．（5分）已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=第2页（共16页）（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线y2=2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则•=（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（）A．8B．6C．4D．2二、填空题:本大题共6小题，每小题5分.13．（5分）坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为．14．（5分）已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥O﹣A1B1C1的体积为．15．（5分）多项式（1+x）3+（1+x）4中x2的系数为．（用数字填写答案）16．（5分）过点（2，﹣3，1）且与平面x﹣y+3z﹣5=0和x+2y﹣3z=0都垂直的平面方程为．17．（5分）关于x的多项式x3+x2+ax+1被x+2除的余式和被x﹣2除的余式相等，则a=．18．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=AD=4，AA1=8，E、F、G为AB、A1B1、DD1的中点，H为A1D1上一点，则A1H=1，求异面直线FH与EG所成角的余弦值．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．（15分）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．第3页（共16页）（1）证明a2+b2﹣c2=ab；（2）求角C和边c．20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an＞0，an+1•（Sn+1+Sn）=2．（1）求Sn；（2）求++…+．21．（15分）双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．22．（15分）x1、x2∈R，f（0）≠0，且f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）•f（x1﹣x2）．（1）求f（0）；（2）求证f（x）为偶函数；（3）若f（π）=0，求证f（x）为周期函数．第4页（共16页）2018年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B=（）A．{4，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，4，5}D．{3，4，5}【分析】由全集U，集合A可求出∁UA，再由交集运算性质得答案．【解答】解：由全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，得∁UA={3，4，5}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B={3，4，5}∩{2，4，5}={4，5}．故选：A．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，得出结论．【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，属于基础题．3．（5分）设z=﹣+i，则z2+z=（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】直接把z代入z2+z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．第5页（共16页）【解答】解：由z=﹣+i，得z2+z==．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（5分）若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（）A．﹣1B．0C．D．1【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，再由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．【解答】解：函数f（x）=ax2+1的导数为f′（x）=2ax，可得点（1，f（1））处的切线斜率为2a，由点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，可得2a=2，解得a=1，故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用两直线平行的条件和方程思想，属于基础题．5．（5分）已知α为第二象限的角，且tanα=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【分析】由tanα==﹣，①，sin2α+cos2α=1，②，联立①②，再结合已知条件即可求出sinα，cosα的值，则答案可求．【解答】解：tanα==﹣，①，sin2α+cos2α=1，②，又α为第二象限的角，∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得，，则sinα+cosα=．第6页（共16页）故选：C．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．6．（5分）已知a+b＞0，则（）A．2a＜（）bB．2a＞（）bC．2a＜2bD．2a＞2b【分析】由题意及选项，构造函数，借助函数单调性，得到选项．【解答】解：构造函数f（x）=2x，f（x）是增函数，∵a+b＞0∴a＞﹣b即f（a）＞f（﹣b）则2a＞2﹣b故选：B．【点评】本题考查构造函数和函数单调性，属于基础题．7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n==120，甲不在两端包含的基本事件个数m=3A=72，由此能求出甲不在两端的概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数n==120，甲不在两端包含的基本事件个数m=3A=72，∴甲不在两端的概率p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）f（x）=ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（，+∞）D．（2，+∞）【分析】令t=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间，结合二次函数的性质可得函数t第7页（共16页）在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得x＜1或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜1或x＞2}，f（x）=lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（2，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．9．（5分）已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=（）A．B．C．D．【分析】将点代入可得方程组，解得a=5，b=1，根据离心率公式即可求出．【解答】解：椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则，解得a=5，b=1，∴c2=a2﹣b2=24，∴c=2，∴e==，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题．10．（5分）过抛物线y2=2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则•=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入y2=2x求得y的值，即可求出•．第8页（共16页）【解答】解：y2=2x的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直x轴的直线是x=，代入y2=2x得y=±1，故•=（，1）•（）=﹣1=﹣．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．11．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到相邻两侧面所成二面角的余弦值．【解答】解：取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，在△ABE中，cos∠AEB==故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是．故选：B．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（）第9页（共16页）A．8B．6C．4D．2【分析】由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，由此能求出a9+a10+a11+a12的值．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，∴1，3﹣1=2，S12﹣S8=a9+a10+a11+a12成等比数列，∴a9+a10+a11+a12=4．故选：C．【点评】本题考查等比数列的四项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题:本大题共6小题，每小题5分.13．（5分）坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（6，﹣6）．【分析】设坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：设坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（a，b），则，解得a=6，b=﹣6，∴坐标原点关于直线x﹣y﹣6=0的对称点的坐标为（6，﹣6）．故答案为：（6，﹣6）．【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（5分）已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥O﹣A1B1C1的体积为．【分析】由A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，可得△A1B1C1∽△ABC，则，过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则，第10页（共16页）再由棱锥的体积公式计算得答案．【解答】解：如图，∵A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，∴△A1B1C1∽△ABC，则，过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则．∴==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）多项式（1+x）3+