新湘教版九年级数学上册2.5--一元二次方程的应用(2)

湘教版·九年级上册2.5一元二次方程的应用第2课时一元二次方程的应用（2）如图2-2，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364cm2.(1)求截去的四个小正方形的边长;(2)求折成的无盖长方体盒子的表面积与体积.动脑筋折叠图2-2长40cm宽28cmS底=364cm2面积问题将铁皮截去四个小正方形后，可以得到如图所示，这个长方体盒子的低面就是上图中的阴影部分，因此本问题的等量关系是：xcmxcmxcmxcm盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽解:(1)设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的地面长与款分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系，可以列出方程：(40-2x)（28-2x）=364S底=364cm2(40-2x)(28-2x)长40cm宽28cm(40-2x)（28-2x）=364整理，得x2-34x+189=0(x-27)(x-7)=0解得x1=27，x2=7如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长度(40cm)因此x1=27不合题意，应当舍去。因此截去的小正方形的边长为7cm。使用十字相乘法因式分解！盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽xcmxcmxcmxcmS底=364cm2(40-2x)(28-2x)长40cm宽28cm(2)S表=S大矩形-4×S小正方形=40×28-4×72=924cm2V体=S底×高=364×7=2548cm3例3如图，一长为32m，宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540cm2，求道路的宽。32m20m道路不是规则的图形，怎样计算简便呢？平移分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但是道路不是规则圆形，因此不便于计算！若把道路平移，则可得到下图，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系：矩形的面积=矩形的长×矩形的宽.32m20m32m20m平移(32-x)(20-x)解：设道路宽为xm，则新矩形的长为(32-x)m,宽为(20-x)m，根据等量关系得：(32-x)(20-x)=540S绿化=540cm2xx得(32-x)(20-x)=54整理，得x2-52x+100=0解得x1=2，x2=50(不合题意，舍去)答：道路宽为2m。注意：面积问题中，未知数的值不得超过已知条件的范围！例4如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm，BC=8cm，点P沿AC边从点A向终点C以1m/s的速度移动，同时点Q沿CB边从点C向终点B以2m/s的速度移动且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.(1)点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2;(2)点P、Q出发几秒后，可使四边形APQB的面积为19cm2(3)点P、Q出发几秒后，△PCQ为等腰直角三角形；(4)点P、Q出发几秒后，P、Q两点之间的距离为8cm?(5)点P、Q在运动过程中，PC能否等于PQ的一半？若能，求出时间，若不能，请说明理由?ABCPQ几何动态问题解：设点P、Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2,根据题意得AP=xcm，PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,则由S△PCQ=·PC·CQ可得:3,096,92·)6(·21212xxxxxx解得整理，得答：点P、Q同时出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2.21ABCPQ6cm8cmx(6-x)2x(1)点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2;ABCPQ8cmx(6-x)2x解：若四边形APQB的面积为19，则由SAPQB=S△ABC-S△PCQ由题意可得：)(5,1,056,192)6(2186·21212舍去解得整理，得xxxxxx6cm答：点P、Q同时出发1s后可使四边形PCQ的面积为19cm2.(2)点P、Q出发几秒后，可使四边形APQB的面积为19cm2?ABCPQ6cm8cmx(6-x)2x解：若△PCQ为等腰直角三角形，则PC=QC,由题意可得：6-x=2x,x=2.答：点P、Q同时出发2s后,△PCQ为等腰直角三角形.(3)点P、Q出发几秒后，△PCQ为等腰直角三角形?(4)点P、Q出发几秒后，P、Q两点之间的距离为8cm?ABCPQ6cm8cmx(6-x)2x)(51146,5114621舍去解得xx解：在Rt△PCQ中，由勾股定理可得：PC2+CQ2=PQ2即(6-x)2+(2x)2=82整理得5x2-12x-28=0ABCPQ8cmx(6-x)2x6cm解：若PC等于PQ的一半，则在Rt△PCQ中，∠PQC=300,由题意可得：,3ACQC).6(32xx.18312x300(5)点P、Q在运动过程中，PC能否等于PQ的一半？若能，求出时间，若不能，请说明理由?答：点P、Q出发s后，PC等于PQ的一半.)18312(1.审:审清题意，理解已知量与未知量之间的关系;2.找:找出题目中所有的等量关系；3.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;4.列:列代数式,列方程;5.解:解所列的方程;6.验:是否是所列方程的解;是否符合题意;7.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.列方程解应用题的一般步骤是:关键是找出等量关系.小结与复习练习1.如图，在长为100m，宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化.若要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？100m80mxxxx2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AC、BC向终点C移动，它们的速度都是1m/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为Rt△ABC的一半？ABCPQ8cmx(6-x)6cmx(8-x)解：设点P、Q出发几秒后，△PCQ的面积为Rt△ABC的一半.xx30cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm例：在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。提高练习2.如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少?3.如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。(1)如果要围成面积为9平方米的花圃，BC的长是多少米？(2)花圃的面积能为20平方米吗？若能，求出BC的长度？若不能，请说明理由；(2)能围成面积比9平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。10DCBA墙米x米312x变式.如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆且两边各留一扇宽1米的小门的长方形花圃。如果要围成面积为9平方米的花圃，BC的长是多少米？10DCBA小门小门1米1米墙米x米3)2(12x4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm？ABCDPQ12cm6cm(6-x)x2x解：设x秒后五边形APQCD的面积为64cm.根据题意得AP=xcm，PC=(6-x)cm,BQ=2xcm,则由S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ可得: