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第十讲比例法解行程模块一、比例的简单运用例1．A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地千米；（2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米；（3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是；（4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是。解：（1）V甲:V乙=30:20=3:2，所以S甲:S乙=3:2，300×332=180（千米）；（2）V甲:V乙=60:40=3:2，所以S甲:S乙=3:2，300×332=180（千米）；（3）V甲:V乙=40:20=2:1，所以t甲:t乙=1:2，（4）V甲:V乙=50:30=5:3，所以S甲:S乙=5:3，t甲:t乙=3:5，相遇时，甲走了全程的55=538，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3:5.例2．（1）甲、乙两人的速度比是4:5，两人同时出发，行走的时间比为3:7，则甲、乙走的路程比为；（2）甲、乙两人要走的路程比为3:2，甲、乙的速度比是4:3，则甲、乙的时间比是；（3）甲、乙两人的路程比为7:8，两人用的时间比为6:5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为。解：（1）已知V甲:V乙=4:5，t甲:t乙=3:7，所以S甲:S乙=12:35；（2）S甲:S乙=3:2，V甲:V乙=4:3，所以t甲:t乙=32:43=9:8；（3）S甲:S乙=7:8，t甲:t乙=6:5，所以V甲:V乙=78:65=35:48；于是70:V乙=35:48，V乙=96千米/小时。模块二、行程的正比例模型行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。如果两人同时从同地出发，速度比为1:n，则路程比也为1:n，相遇时，两人各自走了21Sn，21nSn。例3．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在相遇。解：设A、B两地的距离为S，V甲:V乙=15:5=3:1，则相遇时甲走了233312SS，乙走了2312SS，所以在中点相遇。例4．甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐下一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行距离是千米。解：两个班步行的距离相同，乘车所走的距离也相同，车速:步行速度=48:4=12:1，汽车开到C点时，将甲班学生放下，甲班从C走到B点；汽车从C点返回接乙班的学生，在D点接上，然后开往B点。AD=BC，CD+DC+CB是汽车后半程的路程，BC是甲班学生的路程，它们的比是12:1，设CB为1份，则2倍的CD是11份，CD是5.5份，AD也是1份，所以AD=BC=150×115.51=20（千米）。例5．早上8:00，菲菲从家步行去上学，3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她，追上后又立刻往家跑，到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上，请问：（1）狗狗的速度是菲菲的倍；（2）菲菲家到学校的距离为米；（3）菲菲到校的时间是8点分。解：（1）看第二段，小狗从200米处回家再到达400米处，跑了600米，菲菲走了200米，所以狗狗的速度是菲菲速度的3倍；（2）看第三段，设从800处到学校的距离为x米，狗狗跑了800+x米，菲菲走了x米，所以800+x=3x，解得x=400米，所以菲菲家到学校的距离是400+400=800米；（3）再看第一段，菲菲走了200米，用的时间是y分钟，狗狗也跑了200米，用的时间是(y−3)分钟，距离相同，速度比是1:3，所用时间的比是3:1，时间差为2份，2份为3分钟，所以菲菲在前200米用的时间是4.5分钟，于是菲菲800米用的时间是4.5×4=18分钟，菲菲到学校的时间是8点18分。模块3、行程的反比模型行程的反比模型是指在路程一定时，速度与时间成反比。在速度不同或速度发生变化时，速度的比等于实际的反比。题目中通常会出现①如果已知的两个量在同一个圆中，我们可以通过差倍问题的方法，求出速度或时间；②如果已知的两个量不在同一个圆中，我们可以通过转换速度与时间的比，变成类型①；DCBA400200小狗菲菲学校家相互转换时间的差时间的比速度的差速度的比特别注意：比可以相互转换，而差不能。例6．一辆汽车从A地去B地。（1）若速度提高了20%后，每小时快了20千米，3小时到达B地，则A、B两地的距离是千米；（2）若速度提高了25%后，提前30分钟到达，则到达B地所需的时间是小时；（3）若速度降低了15千米后，时间增加了16，则原来的速度是千米/时；（4）若速度提高了20%，提前1小时到达，如果原速行驶100千米后再将车速提高30%，也是提前1小时到达，则A、B两地距离是千米。解：（1）速度比V1:V2=5:6，一份是20千米/小时，所以V1=100千米/小时，V2=120千米/小时，3小时到达，所以A、B两地相距120×3=360千米；（2）V1:V2=4:5，所以时间比是t1:t2=5:4，时间差是30分钟，1份是30分钟，4份是120分钟；（3）时间增加了16，即时间比是6:7，所以速度比是7:6，1份是15千米/小时，所以原来的速度是7×15=105千米/小时；（4）速度提高了20%，则V1:V2=5:6，时间比是6:5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；第二次速度提高30%，速度比是V1:V3=10:13，131310VV，距离是S=6V1，所以11361001005VVV，111601000100513VVV，解得V1=60，所以A、B两地的距离是60×6=360（千米）。解2：速度提高了20%，则V1:V2=5:6，时间比是6:5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；第二次速度提高30%，速度比是V1:V3=10:13，，后一段路程中所用的时间比是13:10，这时3份为1小时，所以13份为133小时，即用原速走这一段路用时为133小时，而用原速走一共需要6小时，于是走前一段路100千米需要用6−133=53小时，于是原速为100÷53=60（千米/小时），AB之间的距离为6×60=360（千米）。随堂测试1．A、B两地距离270千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米；（2）甲车的速度是63千米/时，乙车的速度是42千米/时，相遇时距A地千米；解：（1）V甲:V乙=50:40=5:4，相遇时距离A地270×554=150（千米）；（2）V甲:V乙=63:42=3:2，相遇时距离A地270×332=162（千米）；2．（1）甲、乙两人同时出发，速度比为2:3，行走的时间比为3:5，则甲、乙走的路程比为；（2）甲、乙两人要走的路程比是5:4，甲、乙的速度比是3:2，则甲、乙的时间比为。解：（1）速度比为2:3，行走的时间比为3:5，则甲、乙走的路程比为6:15=2:5；（2）路程比是5:4，速度比是3:2，则甲、乙的时间比为54:32=5:6.3．甲、乙两车同时从A地出发前往B地，两车的速度比为5:1，如果甲到达B地后立刻返回，则两车在相遇。解：V甲:V乙=5:1，相遇地点在离A点21513AB处。4．李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟，则李经理乘车的速度是步行速度的倍。解：李经理提前了30分钟出发，遇到汽车时，前段距离汽车单程需要走5÷2=2.5（分钟），即正常情况下汽车用2.5分钟到李经理家，再用2.5分钟回到此地，所以李经理早出来走的距离相当于给汽车省了5分钟，也就是李经理步行这段路用了30−2.5=27.5分钟，所以李经理乘车的速度是步行速度的27.5÷2.5=11（倍）。5．一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达。如果以原速行驶160千米后，再将速度提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距千米。解：车速提高20%，则V1:V2=5:6，时间比是6:5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；速度提高25%，则V1:V3=4:5，1354VV，距离是S=6V1，所以1136160160163VVV，111246401601653VVV，解得V1=60，所以A、B两地的距离是60×6=360（千米）。解2：车速提高20%，则V1:V2=5:6，时间比是6:5，一份是1小时，原速度行驶，需要6小时；速度提高25%，则V1:V3=4:5，时间比为5:4，提前40分钟（即23小时），所以1份为23小时，用原速走后一段用时5×23=103小时，于是原速走前160千米用时为6−103=83小时，所以原速为160÷83=60（千米/小时），所以A、B两地的距离是60×6=360（千米）。