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五年级奥数竞赛课本在线课堂上册第3讲质数与合数•数论专题第3讲知识精讲什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况，6=2×3，8=2×4=2×2×2，12=2×6=3×4=2×2×3，...这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数，而像2，3，7，...这样不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数，如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是“拆得开”的数。知识精讲严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他整数整除的数。注意，1既不是质数也不是合数。我们先来看一下关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数。（填写在横线上）质数说：1不是我这儿的！合数说：1也不是我这儿的！知识精讲相信对100以内的质数较熟悉的同学做上面的题目会很轻松，质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数，请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数.知识精讲111317193123372941434759615367797173978983100内质数表（1）所有质数中只有2是偶数，其他全部是奇数。（2）100内的质数一共有25个，10以内的质数只有4个：2、3、5、7。20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19。100内最大的质数是97。（3）所有10以上质数的个位数只有4种可能性：1、3、7、9。（4）1既不是质数，也不是合数。知识精讲同学们还可以这样做，从大到小，写出100以内的质数。如果你能一个不少的写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了，当然同学们写出的，这些质数只是质数大军中的冰山一角，在100以上，还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数，101，103，107，109.例题一：下面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌。将诗中56个字，从第一行左边第一个字起，逐行逐字编为1~56号，再将号码中的质数小到大找出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。【分析】1~56中的质数有哪些？请把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了。哇，有意思！例题一：解析：1~56的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53.一共16个。然后就是找出对应编号的字了。23571113171923美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；29313741434753九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌。这样连起来就是：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山。质数表是关键练习一：自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？这实际就是找10以内的质数嘛！练习一：解析：N（都是一位数的质数！）（2、3、5、7）知道N的数位上的数只能是2、3、5、7，并且个位只能是3和7。依次枚举即可：2327333753577377所以：只有23、37、53、73这4个数符号条件。例题二：（1）如果两个不同质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。（2）如果两个不同质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出。【分析】对于第1小题依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数，那么后两小题中的质数可以都是奇数吗？质数和是奇是偶？例题二：解析：所有质数除了2以外都是奇数，所以两个质数和为奇数，其中必有2；没有2的情况下两个质数和必为偶数。多个数和的分析也参考两个数和的奇偶性。（1）和为26，偶数，所以不考虑2，在26内的质数中找，发现3+23（√），5+21（×），7+19（√），11+15（×），13+13（×）计算两组符合条件的乘积：69、133.（2）和为25，奇数，所以其中一个质数是2，则只有2和23这一种可能，所以乘积是46.（3）三个质数和40，偶数，则三个质数中必有2，另两个和为38，试验发现：只有7和31可以，最后求乘积为434.练习二：如果三个互不相同的质数相加和为52，这三个质数可能是多少？知识精讲通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解，下面我们来学习这一讲中最重要的内容——分解质因数，分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式。如30=2×3×5，100=2×2×5×5，280=2×2×2×2×5×7，同学们请注意，分解时应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的。分解质因数的方法一般是短除法，如图所示，我们将42分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性。知识精讲能整除42的质数相除后得到的商100在分解质因数时也可以写成100=22X52，280在分解质因数时也可以写成280=23×5×7，这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数字，叫做指数.如:指数100=22X52280=23×5×7这里280的分解式中5和7指数都是1，写的时候可以省略。作为指数的时候我就隐身了哟~~知识精讲如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不要担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断。例如：我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了，因为15×15=225比197大。类似的，如果我们要判断2011是不是质数。只需要验算45以内的质数，因为45×45=2025比2011大，有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了。知识精讲古老的数字家族有这样一个特殊的族群，他们是“完全平方数”，就是类似于：1、4、9、16等等这样是两个相等数乘积的数，他们的家族也是很庞大的哦！常见到的还有25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、625，记住他们，非常有利于计算哦~~~~例题三：请把下面的数分解质因数（1）360；（2）539；（3）999；（4）10101。【分析】一个数分解质因数可以从最小的质数开始，一个一个去试商写成短除的形式。从我开始哟！例题三：解析：（1）360=23×32×5（2）539=72×11（3）999=33×37（4）10101=3×7×13×37最后一定要写成乘积的形式哟！练习三：请把下面的数分解质因数：（1）373；（2）12660。例题三：解析：（1）质数（2）12660=22×3×5×211哦，质数根本就不能再分解啦！在数论问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数。解决这类问题的方法，同样是分解质因数，下面我们来看一个例题。例题四：算式1×2×3×....100计算结果的末尾有多少个连续的0?【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0。注意到10=2×5，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了。2呢？5呢？练习四：算式1×2×3×...×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？在一起OK分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练地将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养，下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际问题。例题五：三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？【分析】39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，在对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数，由于连续自然数相互之间比较相近，所以凑的时候也必须尽量接近。挑战极限例题六：360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的指数都是偶数，而360=23X32X5，它不是一个平方数。它最小再乘上多少结果就是平方数了？挑战极限通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处，它就像手术刀一样，把整数解刨开来，让我们把整数的组合结构看得一清二楚，很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单。课堂检测一、（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？二、自然数49、87、101、103、121中哪些是质数？三、请把下面的数分解质因数：（1）240；（2）1080.课堂检测四、三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？五、算式1X2X3X....x35的计算结果的末尾有多少个连续的0?THANKYOU下次再见~~~~