96高等数学竞赛函数极限连续

高等数学竞赛辅导第一讲函数、极限、连续1：“00”型函数的极限[1]分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式）[2]有理化分子或分母，然后约分求值公式：bababa))((babbaaba))((32333233[3]利用等价无穷小替换求极限常见的等价无穷小：变量在变化的过程中，下列各式左边均为无穷小，则①sin□～□②tan□～□③arcsin□～□④arctan□～□⑤ln(1+□)～□⑥口e-1～□⑦1-cos□～22口⑧(1+□)-1～α□等价无穷小替换的原则：①只对函数的因子可作等价无穷小替换②该因子首先必须是无穷小量例1求极限(1)2220sincos1limxxxx(2)131)1()1()1)(1(limnnxxxxx(3）求nnxxxx2cos4cos2coslimlim0（4）xdtttxxx200sin)()(lim(5)设xf是三次多项式，且有,014lim2lim42aaxxfaxxfaxax试求axxfax3lim3[4]、洛必达法则21)5(;2)0()4(;1)3(;!1)2(;21)1(n答案：)2000()12(])([lim,1000)(lim0)(lim12)(31212121212答案求极限，且的邻域内为可导函数，在设xdtduuftxfxfxxftxxxx例2、例3、100102limxexx求（答案：0）,2)1ln(sin11arctan1lim020xxdttbtxax例4、若试确定常数a，b的值2：“”型[1]分子和分母均为有理式（抓大头）[2]洛必达法则[3]变量替换化为“00”型例4、求极限1limxxxxx（答案：１）例5、求极限xdttxxx2ln1lnlim（答案：１）Tips：若x的极限中含有)cot(arctan),1,0(xarcxaaax或的，一定要分别求出x与x的极限。3：“”型[1]通分；[2]分子(根式)有理化;[3]变量替换例7、1)求极限)))(((limxbxaxx(2ba)2)求)cot1(lim220xxx(答案:32)3)求))11ln((lim20xxxx(提示:令xt1;答案0)ttetettt1arctan21lim6110、例答案：14：“0,,0,100”型（公式exexxoxxx1)1(lim,)11(lim的利用）分析：①)(ln)(lim)(ln)()(lim)]([limxfxgxfxgxxgxeexf②xvxuxuxvxveexulim1lnlim1lim例7、求极限（1）xxxxe110)23(lim(2)nnnn)232(lim(3)8)2(limxxaxax,求a（4）求xenxxxxneee20lim，其中n为给定的正整数(09国家卷真题)eneae213)4;8ln31)3;6)2;)1答案：5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量6：已知数列的递推式，证明数列极限存在，并求极限方法：利用“单调有界数列必有极限”1、判断数列的单调性2、判断数列的有界性3、求极限值121666,68nnnxxxxx极限、求数列例3limnnx答案：7:n项和，当n时的极限方法：1、利用定积分定义求极限；2、利用夹逼定理3、利用特殊级数求和法；4、利用幂级数求和法。例9求极限（1）nknknn1224lim（2）nknnknx122lim（3）nnnnnnn)12()2)(1(1limex4)3;1)2;22arctan)1答案：例10（1）求极限)12111(lim222nnnnn(2)nnnn1)321(lim（3）103limdxxxnn))1(1321211(lim11nnn、求例.)2122321(lim122nnn、求例.033211）；）；）答案：答案：1答案：38:利用麦克劳林公式求函数的极限注意:下列公式中,0x(1))(!0nnkkxxokxe(2))()!12(1sin21121nnkkkxokxx）（(3))()!2()1(cos1202nnkknxokxx(4))()1()1ln(211nnkkkxokxx(5))(!)1()2)(1(!2)1(1)1(2nnaxoxnnaaaaxaaaxx656656lim)1xxxxx)11ln(lim)22xxxxxxxxcot11lim)30例13.求极限121)4;31)3;21)2311；）答案：xexxx420sincoslim)429:利用级数收敛的必要条件求极限方法：如果级数1nna收敛，则0limnna例14、求极限（1）)!12()!(lim2nnn2）nnnn!lim10：利用积分中值定理求极限例15、求1)dxxxnn101lim;2))sin1(sinlimxxx答案：0，1/e(改用定积分定义！)，0，011：用极限表示的函数例16、（1）设函数11lim)(22nnnxxxf,求)(xf的间断点,并判断其类型(2)设1lim)(2212nnnxbxaxxxf是连续函数，求常数ba,12：求函数的间断点并判断间断点的类型例17、)4tan()1()(xxxxf在),0(内的间断点,并判断其类型，可去间断点无穷间断点；答案：例跳跃间断点）答案：例43,4171,0)2.,1116xxbax例16（1）设)(xf连续，Aaxbxfax)(lim，求axbxfaxsin)(sinlim（2）设f(x)在x=a可导，f(a)0，求nnafnafW])()1([lim（3）设)(xf在0x连续，且2sin)(1lim0xxxfx，求)0(f13.抽象函数的极限4)3;)2);(cos)1)()(afafeafA（4）已知213sin)(1lnlim0xxxxf，则20)(limxxfx（5）设()fx在0x点二阶可导，且1cos1)(lim0xxfx，求)0(),0(/ff和''(0)f的值（6）设)(xf在0x的某个邻域内有连续导数，且2)xf(x)sin(lim20xxx，求)0(f，)0(/f（7）)(xf连续，0)(lim0xxfx，4)0(//f，求xxxxf10))(1(lim2)7;4)0(;1)0()6;1)0(;0)0(;0)0()5;3ln2)4efffff几种常见的极限（1）0!limnann（2）0limnknan（0a）（3）1limnna（4）1limnnn（5）0!1limnnn（6）0)2124321(limnnn（7）enn)!1!31!2111(lim（8）0))!2()!2()!1((lim221nxnxnxnnnn