27.2.3 相似三角形的应用举例(2)(公开课)

27.2.3相似三角形应用举例（2）R·九年级下册新课导入当你在路上行走时，经常会见到一种现象：远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越高，你能解释这种现象吗？•学习目标：1.利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度问题.2.体会数学转化的思想，建模的思想.3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.•学习重、难点：重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.难点：数学建模.推进新课视线遮挡问题知识点例3如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C了？分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH＞∠CFK时，人不能看到小树AB后面的大树CD.如图1解：如图2，假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK∴EHAHEKCK81.66.45121.610.4EHEH即解得EH=8（m）由此可见，当她与左边较低的树的距离小于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点C了.练习1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.a.请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（如图所示）b.已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求a中的点C到胜利街口的距离CM.解：∵BA∥PQ,∴△CMD∽△PND.∴，CMMDPNND即824208CM解得CM=16(m).随堂演练基础巩固1.已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度.解：∵，OAOBOCOD而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.∴=3ABOACDOC又∵CD=7cm，∴AB=21cm.由题意和图易知25-2x=21,∴x=2(cm).∴此零件的厚度为2cm.综合应用2.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？解：∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,△CDQ∽△PBQ.∴，即，解得OD=15（米）CDODABOB9 1815ODOD，即，解得OD=45（米）CDQDPBBQ91215QDQD∴OQ=DQ-DO=45-15=30（米）.∴NF=OQ=30（米）.即车子向前行驶的距离NF为30米.课堂小结解题思路根据题意建立相似三角形模型证明三角形相似得比例线段列方程求值拓展延伸如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m.（1）△FDM∽△______，△F1D1N∽△_______；（2）求电线杆AB的高度.解：(1)依题意，∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE∴DC∥D1C1∥BA,∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG.(2)由（1）知△F1D1N∽△F1BG，∴111DNFNBGFG而△FDM∽△FBG，∴.易知D1N=DM.DMFMBGFG∴，而F1N=C1E1=3m,FN=C1E=6m,11FNFMFGFGMF=CE=2m,∴MF1=MF+FN+NF1=11m,∴，∴GM=16（m）.32112GMGM而，∴111DNFNBGFG1.5327BG∴BG=13.5（m）.∴AB=BG+GA=15m.∴电线杆AB的高度为15m.1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业教学反思本课时针对实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后运用三角形相似的知识进行解答.整个学习过程培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性.习题27.2复习巩固1.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m.在图纸上，这条边长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两条边的实际长度.解：设其他两边长为xm，则x5425x=20（m）即其他两边的实际长度为20m.2.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：（1）AB=10cm，BC=12cm，AC=15cm，A'B'=150cm，B'C'=180cm,A'C'=225cm；解:（1）ABA'B'10115015BCB'C'12118015ACA'C'115ABBCACA'B'B'C'A'C'∴△ABC∽△A'B'C'（2）∠A=70°，∠B=48°，∠A'=70°，∠C'=62°（2）∠C=180°-（70°+48°）=62°∴∠A=∠A'=70°，∠C=∠C'=62°∴△ABC∽△A'B'C'3.如图，（1）判断两个三角形是否相似；解：（1）图（1）中ABACBCDEDFEF2∴△ABC∽△DEF（2）求x和y的值.（2）图（2）中ACCE603402BCCD393262∴，又∠ACB=∠ECDACBCCECD∴△ACB∽△ECD∴y=∠D=98°x3272∴x=40.5.4.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∵∠AED=∠C又∵EF∥AB∴∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.5.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形.解：△ADE∽△AFG∽△ABC6.如果把两条直角边分别为30cm，40cm的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？35解：30×=18（cm），40×=24（cm），35352213S3040216(cm)257.如图，AD是Rt△ABC斜边上的高.若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长.解：∵AD是Rt△ABC斜边上的高，有∠ADB=∠CAB=90°，∠B=∠B，∴△ADB∽△CAB∴ABDBCBAB即∴DB=1.6cm4104DB8.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成.利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？综合运用解：CD=AB，∵，即,1313ODOAODOCOAOB而∠COD=∠BOA，∴△COD∽△BOA∴13CDODABOA9.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？解：EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACDEBABCDAC10.5EBACCDAB（cm）10.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部.这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m，同时量得LM=30cm，MS=2m，这栋楼有多高？解：∠LMK=∠SMT，△LMK=△SMT，KLLMTSMS10KLMSTSLM（m）11.如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动。EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和四边形ABCD已知保持相似吗？证明你的结论.解：EF∥BC，△AEF∽△ABC，EFAFBCAC同理FGAFCDAC∴EFFGBCCD而两个举行的额对应角均为90°∴四边形AEFG∽矩形ABCD.12.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D或E的位置.解：DE∥BC，∴△ADE∽△ABC21()2△ADEABCSADSAB∴AD=AB12ADAB22即D点在距A点的AB处.22综合运用13.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且，求∠ACB的大小.ADCDCDBD解：∵，又∠ADC=∠CDB=90°ADCDCDBD∴△ADC∽△CDB，∴∠A=∠DCB∴∠ACD=∠B，∴∠A+∠B=∠BCD+∠ACD=∠BCA∴∠A+∠ACB+∠B=2∠ACB=180°∴∠ACB=90°14.如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E.记x秒时，DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式，并画出它的图象.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，AD=AB-BD=8-2xDEADBCAB8298yx∴，∴99(82)984yxx∴02x8，∴0x4994yx∴(0x4)图像是一条直线