等差数列与等比数列

第1节等差数列与等比数列第三章数列要点·疑点·考点1.等差(比)数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.2.通项公式等差an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-13.等差(比)中项如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差(比)数列，则A叫a、b的等差(比)中项．A＝(a+b)/2或A＝±√ab4.重要性质：am+an＝ap+aq(等差数列)am·an＝ap·aq(等比数列)m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)特别地m+n=2pam+an＝2ap(等差数列)am·an＝a2p(等比数列)课前热身31D1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是_____.2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为()A.3/8B.11/24C.13/24D.31/723.已知b≠0，则b=-是a、b、c成等比数列的()(A)(B)(C)(D)Aac5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为()A.20B.22C.24D.28C4.在等比数列｛an｝中，a5、a9是方程7x2+18x+7=0的两个根，则a7()(A)-1(B)1(C)±1(D)A能力·思维·方法【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键所在.1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再求，也是可行的，但运算量较大.【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用到了数学中重要的思想方法.3.已知点An(n,an)为函数F1∶y=√x2+1上的点，Bn(n,bn)为函数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+).(1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；(2)试比较cn与cn+1的大小.【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差4.若a1，a2，a3成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z延伸·拓展【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列中的基本问题之一.5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的公共项由小到大排成的数列是{cn}.①写出{cn}的前5项.②证明{cn}是等比数列.误解分析2.延伸拓展5中，证明一个数列是等比数列(或等差数列)，用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系.1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关系，常会出现错误.第2节等差、等比数列的通项及求和公式要点·疑点·考点3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.1.等差数列前n项和等比数列前n项和dnnnanaaSnn21211111111qqqaqnaSnn2.如果某个数列前n项和为Sn，则2111nSSnSannn2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于（）A.18B.36C.54D.72课前热身1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱毫米)110115120125130135()145舒张压(水银柱毫米)707375788083()8814085D5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为()(A)5(p+q)/4(B)3(p+q)/2(C)p+q(D)2(p+q)4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的值为()(A)3(B)4(C)7(D)8DB3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，则q=___1能力·思维·方法1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.【解题回顾】公式给出了数列的项与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：(1)公式对任何数列都适用；(2)n＝1的情形要单独讨论.2111nSSnSannn2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列.(1)求q3的值；(2)求证a2，a8，a5成等差数列.【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注意讨论q.【解题回顾】在等差数列{an}中：(1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇/S偶＝an/an+1；(2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/S偶＝n/(n-1)，S2n-1=(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和S’n．nS【解题回顾】一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与：当ak≥0时，有；当ak＜0时，(k=1，2，…，n).若在a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以nSnnSSnnSSSSSSSSSnnn22【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.延伸·拓展5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否存在正常数c，使得对任意的n∈N+成立?并证明你的结论.cScScSnnn12lg2lglg误解分析1.用公式an=Sn-Sn-1解决相关问题时，一定要注意条件n≥2，因n=1时，a1=S1.2.等比数列的和或利用等比数列求和公式解题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.qqaSnn111第3节等差、等比数列的运用要点·疑点·考点1.差数列前n项和的最值设Sn是{an}的前n项和，则{an}为等差数列Sn=An2+Bn，其中A、B是常数.{an}为等差数列，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，n可由确定若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，n可由确定.an≥0an+1≤0an≤0an+1≥02.递推数列可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或求数列的通项公式.1nnnaaaaaaaa23121课前热身1.{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0,Cn＝an+bn，若数列{Cn}是1，1，5，…则{Cn}的前10项和为___________.2.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_______.3.下列命题中正确的是()A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是{an}为等比数列的充要条件C.数列既是等差数列，又是等比数列D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于190或294340B4.等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S215.等差数列{an}中，Sn为数列前n项和，且Sn/Sm＝n2/m2(n≠m)，则an/am值为()(A)m/n(B)(2m-1)/n(C)2n/(2n-1)(D)(2n-1)/(2m-1)CD能力·思维·方法【解题回顾】这是2000年高考题，因是填空题，本题也可由条件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4…后，猜想an=1/n1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=1/n.2.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?【解题回顾】另外，本例还可通过考查项的符号确定n取何值时Sn取得最大值，即寻求这样的一项：使得这项及它前面所有项皆取正值或0，而它后面所有各项皆取负值，则第一项起到该项的和为最大.这是寻求Sn最大值或最小值的基本方法之一.还有在学习研究中我们不难发现在等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp=Sq(p≠q)，(1)当p+q为偶数时，则n=p+q2时，Sn取得最大值；(2)当p+q为奇数时，则n=p+q-12或p+q+12时Sn取得最大值这一规律.3.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞0.设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2(n∈N*)，数列{an}与{bn}的前n项和分别记为An与Bn，试比较An与Bn的大小.【解题回顾】遇到涉及等比数列的和的问题时，要根据题意作具体分析，不要贸然使用求和公式，如本例就是直接利用数列前n项和的定义，从而避免了运用求和公式所带来的繁杂运算.【解题回顾】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系，熟记等差数列的这些性质常可起到简化解题过程的作用.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110.延伸·拓展【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan，应将其看做数列{nan}的和Sn．而本题要证an+1-an为常数，故应在等式中消去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1，就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列和有关的问题的常用方法.5.已知数列{an}和{bn}满足(n∈N+)，试证明：{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数列.nanaabnn2121211.在利用an≥0，an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn的最值时，符号不能丢掉.误解分析2.在能力·思维·方法4中，如果数不清项数，看不清下标，将会出错.第4节等差、等比数列的应用要点·疑点·考点1.复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x2.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p)x3.单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr)1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是()(A)63(B)65(C)67(D)71课前热身2.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是()(A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元(C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元3.某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元．B种面值50元，半年到期，本利共50.9元，C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例便从小到大排列为()(A)BAC(B)ACB(C