等差数列与等比数列基本公式

多媒体辅助教学课件江油中学唐秋明制作公式小结目的例题等差数列与等比数列基本公式•等差数列•an-an-1=d(常数)•an=a1+(n-1)d•a,A,b等差,则A=•等比数列•an/an-1=q(常数)•an=a1qn-1•a,G,b等比,则G2=ab•Sn=2ba2)1(2)n(a11dnnnaanna1(q=1))1q(,q1qaaq1)q1(an1n1Sn=等差数列{an},{bn}的性质:•m+n=k+l,则am+an=ak+al;•{nk}等差,则kna等差;•{kan+b}等差;•{k1an+k2bn}等差;•a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等差.•{an}等差Sn=cn2+bn(c≠0)•.1212'nnnnbaSS)2(,)1(,11nSSnSannn等比数列{an},{bn}的性质:•m+n=k+l(m,n,k,l∈N),则aman=akal;•{nk}等差,则•{kan}等比;•{k1ank2bn}等比;•a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;•{an}等比Sn=c(qn-1)(c≠0)•{an}等比且an0,则{lgan}等差;kna等比;)2(,)1(,11nSSnSannn例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,aadaa21已知和为12=a-d+a+a+d=12已知三数和为19==24da144da或四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.adaada219为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。归纳练习1练习11.已知等比数列{an}中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)5(B)10(C)15(D)202.数列{an}是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-1103.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()(A)0(B)150(C)300(D)450ADA1.已知等比数列{an}中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=a3+a5=5(an0)提示:2.数列{an}是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-110S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d.)92(52)(10......(1101102110daaaaaaS)292(52)(10......120112012111020daaaaaaSS解:∴(S20-S10)-S10=100d)∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-1109909050]291010[10299100100101110100ddadaSS=10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)100d3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()解:∵A+B+C=18002B=A+C,b2=ac∴B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC)]cos(21[21)]cos(C)A[cos(2143CACACACA1)cos(故A=B=C,公差d=0.例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+knnkkkkaaaa,.......,,,321即得出新数列的公比:q=3再由dkaqaannkn)1(111∴可解出kn,进而求出nkkkk......321根据数列{an}是等差数列,通项可写作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kndaaaaakk4,15121nkkkkaaaa,.......,,,321解:{an}为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d,16a1k3da又312k2akkaa故(a1+4d)2=a1(a1+16d)121ad(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d324111111512aaaadaaaaaqkk例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+knnkkkkaaaa,.......,,,3211kk1naanq故dkan)1(a1kndkaqann*)1(1111321nnk13......321nkkkknn又q=3,d=(1/2)a1111121)1(3akaann归纳1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。练习2练习21.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为________1:1:1或4:1:(-2)2kπ±(2π/3)(k∈Z)1.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab①②代①入②,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或a=-2ccbcacbca212或1:1:1或4:1:(-2)解:2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为________解:经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cosθ,它的前100项和:0θcos21θcos211100nS0θcos210θcos21100Cosθ=-1/2Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明{an}成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式求出a1,an.)1(,)2(,11nSnSSannn因为条件中有a1≠a2,又可推测知:本题需同时求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.故第一问的解答从计算a1,a2开始:例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明{an}成等差数列（1）令n=1，s1=pa1，因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1≠a2矛盾故p≠1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a1≠0，∴a2≠0，p=1/2解:例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明{an}成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列所以第一步求通项,第二步“作差”.证明:n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-1211nnaann例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明{an}成等差数列233432211......aaaaaaaaaannnnnn1223......433221nnnnnn)(1a,12n2Nnannaan，）（即（常数）22211aannaaann成等差数列。na由(1)可得a1=0∴a2-a1=a2练习3练习31.数列则是该数列的第________项.2.数列{an}对任意自然数n都满足且a3=2,a7=4,则a15=_______,.....,11,22,5,2422nnnaaa241116教学目的1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。小结对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:____________________.习题分析:7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.习题分析:8.已知等差数列{an}的首项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+…..+na2习题分析:9.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列{an}的通项.