等差数列与等比数列经典习题

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等差数列与等比数列基础知识1.数列的概念定义1.按照某一法则,给定了第1个数,第2个数,………,对于正整数有一个确定的数,于是得到一列有次序的数我们称它为数列,用符号表示。数列中的每项称为数列的项,第项称为数列的一般项,又称为数列的通项。定义2.当一个数列的项数为有限个时,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称这个数列为无限数列。定义3.对于一个数列,如果从第2项起,每一项都不小于它的前一项,即,这样的数列称为递增数列;如果从第2项起,每一项都不大于它的前一项,即,这样的数列称为递减数列。定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数,即,其中是某一个正数,则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。定义5.如果在数列中,项数与具有如下的函数关系:,则称这个关系为数列的通项公式。2.等差数列定义6.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示。等差数列具有以下几种性质:(1)等差数列的通项公式:或;(2)等差数列的前项和公式:或;(3)公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数;(4)公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数;(5)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;(6)设,是等差数列,则(是常数)也是等差数列;(7)设,是等差数列,且,则也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);(8)若,则;特别地,当时,;(9)设,,,则有;(10)对于项数为的等差数列,记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和,则,;(11)对于项数为的等差数列,有,;(12)是等差数列的前项和,则;(13)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则①.为等差数列,公差为;②.(即)为等差数列,公差;③.(即)为等差数列,公差为.3.等比数列定义7.一般地,如果有一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母表示(),即。等比数列具有以下性质:(1)等比数列的通项公式:或;(2)等比数列的前项和公式:;(3)等比中项:;(4)无穷递缩等比数列各项公式:对于等比数列的前项和,当无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和,记为,即;(5)设是等比数列,则(是常数),仍成等比数列;(6)设,是等比数列,则也是等比数列;(7)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);(8)设是正项等比数列,则是等差数列;(9)若,则;特别地,当时,;(10)设,,,则有;(11)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则①.为等比数列,公比为;②.(即)为等比数列,公比为;典例分析例1.设等差数列的首项与公差均为非负整数,项数不小于3,且各项之和为972,则这样的数列有_____________个。解:设等差数列的首项为,公差为。由已知有,即。又因为,所以只可能取,又因为且均为整数,故;若,由于为正数,则,即,故,这时有或;若,则,这时有或。例2.设,A是S的三元子集,满足:A中元素可以组成等差数列,那么这样的三元子集有___________个。解:若成等差数列,则,从而首未两项奇偶相同,且首未两项一旦确定,那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是,虽然成等差数列时,也成等差数列,但它们所对应的是同一个集合A={}。将S按数的奇偶性分成与两个子集。从中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有种不同的取法;从中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有种不同的取法;所以共有+种不同的取法。例3.设,A为至少含有两项且公差为正的等差数列,其项都在S中,且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列,求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作是等差数列)(1991年全国高中数学联赛二试第一题)分析:可先对特殊的n(如n=1,2,3)通过列举法求出A的个数,然后总结规律,找出的递推关系,从而解决问题;也可以就A的公差时,讨论A的个数。解法一:设元素集中满足条件的A有个,则,,……如此下去,可以发现。事实上,比的A增加的公差为的1个,公差为的1个,……,公差为为偶数)或为奇数)的增加1个,共增加个。由的递推公式可得个。解法二:设A的公差为,则,分为两种情况讨论:(1)当为偶数时,则当时,公差为的A有个,当时,公差为d的A有个,故当n为偶数时,这种A共有个;(2)当为奇数时,则当时,公差为的A有个,当时,公差为d的A有个,故当n为奇数时,这种A共有个;综合(1)(2)得,所求的A共有个。例4.将数列依次按每一项,两项,三项,四项循环分成(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43)……,则第100个括号内的各数之和是__________________。解:每循环一次记为一组,则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项,以80为公差的等差数列,故为所求。例5.设数列是等差数列,是等比数列,且,,(),又,试求数列的首项与公差。(2000年全国高中数学联赛一试第13题)分析;题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用,,成等比数列和给定的极限可列出两个方程,但需注意极限存在的条件。解:设所求的首项为,公差为。因为,故;又因为成等比数列,故,即,即,化简得:,解得,而,故;若,则;若,则;但是存在,可知,于是不合题意,从而只有。于是由解得,所以,故数列的首项与公差分别为和。例6.若复数列的通项公式为(1)将数列的各项与复平面上的点对应,问从第几项起,以后所有的各项对应的点都落在圆的内部;(2)将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列,求数列的通项及所有项的和。解:(1)设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为,则,。要使点落在圆的内部,只需,得即,故从第6项起,以后每一项都落在圆的内部。(2)要使数列中的项为实数,则,得,因此数列的通项公式为,所以,且故数列是首项为1,公比为的无穷递缩数列,从而数列的所有项的和为:。例7.已知整数,是1,2,3,……,n的一个排列,求证:不可能构成一个等差数列,也不可能构成一个等比数列。(2006年山东省第二届夏令营试题)证明:若构成一个等差数列,设其公差为,则,,所以。而,因为,所以所以。于是当时,则,于是所以,矛盾!当时,则,又因为所以,从而。所以,所以,从而,矛盾!从而不可能构成一个等差数列。下证不可能构成一个等比数列。若构成了一个等比数列,考虑最后三项。有,所以。而(,,所以;当时,显然;当时,显然;当时,有,知,所以即,所以或4;当时,只能为1,6,6或2,6,3,但这两个都不是等比数列;当时,,所以故;又因为,所以矛盾!所以也不可能构成一个等比数列。例8.正整数序列按以下方式构成:为某个正数,如果能被5整除,则;如果不能被5整除,,则。证明:数列{}自某一项起,以后各项都不是5的倍数。(2006年山东省第二届夏令营试题)证明:首先证明中一定在存在相邻的两项,它们都不是5的倍数。(反证)若不然,数列中任意的两项都是5的倍数。若,则;若5,则,从而;所以矛盾!(因为某个正数,不可能大于无穷多个正整数)从而中一定在相在相邻的两项,它们都不是5的倍数。设都不是5的倍数,则,其中,有因为,所以,所以只能取,即只能取,这说明不是5的倍数。即从起以后每一项都不是5的倍数。例9.将与105互质的所有正整数从小到大排成数列,求这个数列的第三1000项。解:设,,,则;;;;;;,所以。在1到105之间与105互质的数有[]+[++]-=105-(35+21+15)+(7+3+5)-1=48设将与105互质的数从小到大排列起来为数列,则,,,这是一个以48为周期的周数列,因为所以;而由于,,,,,,,,;所以=。例10.数列的定义如下:,且当时,有现已知,求正整数.(2006年山东省第二届夏令营试题)解:由题设条件知,并由得当n为偶数时,,当n为奇数时,;由于,知n为偶数;所以知为奇数;所以知为偶数;知为奇数;知为偶数;知为奇数;知为偶数;知为偶数;知为奇数;知为偶数;知为奇数;知为偶数;所以,所以。

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