等差数列及前n项和习题

等差数列及前n项和教学目标：求和公式的性质及应用，Sn与an的关系以及数列求和的方法。教学重点：求和公式的性质应用。难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法引入2n11nn-1ddS=na+d=n+a-n222可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。1、求和公式的性质：性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn(a,b为常数)，则数列{an}是等差数列。{an}是等差数列Sn=an2+bn(a,b为常数)性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则n+12nnn+122naS=na+a2(n为奇数)(n为偶数)11717918910a+aS=17=17a;S=9a+a2如：如：两个等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn1111S23=,T37若则66a23=b37性质3、等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列如：{an}是等差数列，(1)a1+a2+a3=5，a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_a19+a20+a21=_____(2)Sn=25,S2n=100,则S3n=____1535225反之呢？5.等差数列中，若前100项之和等于前10项和的100倍，求。na10010aaa100a10=19919性质5、{an}为等差数列，求Sn的最值。n1n+1a0a0,d0a0若且，则Sn最大。n1n+1a0a0,d0a0若且，则Sn最小。或利用二次函数求最值。n1111S=++++1335572n-12n+1求和n11111111S=1-+-+-++-2335572n-12n+111=1-=22n++1n2n1随堂练习1、在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于A、3B、4C、6D、122、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为A、130B、170C、210D，2603、设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和，则A、S4S5B、S4=S5C、S6S5D、S6=S5CCB4、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A、1B，2C、4D、65、数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时，n=___________6、在等差数列{an}中,已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于______7、已知在等差数列{an}中，a10,S25=S45,若Sn最小，则n为A、25B、35C、36D、45B12或139B8、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于A、9B、10C、11D、129、等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于A、160B、180C、200D、22010、在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是_______BB156011、等差数列{an}中，首项a10,公差d0,Sn为其前n项和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。OYXAOYXBOYXOYXCDC补例例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20，求S15.解：∵S5，S10-S5，S15-S10成等差数列∴2(S10-S5)=S5+S15-S10,即30=5+S15-20S15=45例2、一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d解：由题意，列方程组得：S奇=162，S偶=192S偶-S奇=6d=30∴d=5例4、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要24小时，但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？解：设有n台收割机，第k台所用时间为ak,则a1=5an它们每台每小时的收割量为124nSn=24n1n111a+aan=24na+=48a=4025所以用这种方法收割完小麦需要40小时。例5、在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。解：由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0所以a13=0因为a10,a13=0,所以d0即n≤12时，an0而n≥14时an0所以S12和S13最大最大值为1306)2(1,2,3)(1)nann2xnnn例：设f(x)=logx-log2(0x1)，数列a满足f(2求数列a的通项公式.(2)判断数列a的单调性.2212221021nnannannanaann22有loglog解：201,0210(1,2,13)nnanxaannn212221(1)(1)12111,0(1)(1)1nnnnnnnaannnnannaan解（）又数列a1.2(1)nnabn1nnn-1n4例7：已知a数列满足a=4,a=4-，令ba求证数列b是等差数列。(2)求数列的通项公式。142(2)12211122(2)221111..2222nnnnnnnnnnbaaaaaabban+1n+1n+1：（）aaa数列解是等差数列1221221111.)2222nnnananana解（）是等差数列（1.2(1)nnaan1nnn-1n4例7：已知a数列满足a=4,a=4-，令ba求证数列b是等差数列。(2)求数列的通项公式。28,(1)2ap+nnn1n例：数列a的前项和为S=npa(nn)，且a求常数的值。（）证明数列a是等差数列.10.111222121（）当n=1时，a=pa,若p=1时，a+a=2pa=2aa=a,与已知矛盾,p1,则a解：12221222(21)0,,1/2naapapaaap当时，111111(2).2(1)222nnnnnnnannaSSnanaan，22122(2)(1)nnnnannanaaaaan21叠乘得：注意数列a是以a为公差a为首项的等差数列。219,,(2).8(1)nnnaNSannnnn例：已知数列a求证a是等差数列.1(2)若b=a-30，求数列b的前n项和的最小值222111111(2)(2)88()(4)0,4nnnnnnnnnnSSaaaaaaNaan+1n+1n解：数列是aaa等差数列。219,,(2).8(1)nnnaNSannnnn例：已知数列a求证a是等差数列.1(2)若b=a-30，求数列b的前n项和的最小值2211112(2)28Saa1（）由知a解：1154223102931,02215,15225nnnnnanbnbnnNbnbS15的前项为负，最小且S102x1例：设f(x)=,则2f(-5)+f(-4)++f(0)++f(5)+f(6)=____________.112122(1)2222222xxxxxfx解：2()(1)2fxfx(4)(5)26232ffSS设S=f(-5)+f(-4)+f(5)+f(6)则S=f(6)+f(5)+倒序相加法的应用111}1221nnnnsasnsan1、在数列{a中，，（），求：222123nannn（）（）（）2421467286、前项和为，末项和为，且各项和为，求项数。261421123{}82201{}1212?,,,.32nnnnnnnnnnaaaaaaabsbbbmnamnsm、数列中，，，且满足（）求数列的通项公式。（）设，是否存在最大的整数（），使得对任意的均有总成立若存在求出不存在说明理由(1)102(2)7nanm补充1120055110001nnxxfxx、方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=x有唯一不动点，且，a（x+2）（）求200211116112123123412n、21nn222242713352121nnsnn（）、（）（）21nnn128{}122111{}2{}nnnnnnnaansassasn、数列的首项，前项的和与之间满足a（）求证：数列是等差数列；（）求数列的通项公式。2119}21{}2{}nnnnnsaasan、设各项为正数的数列{a满足（）（）求证：数列是等差数列；（）求数列的通项公式。1nann