有导体时的静电场

第二章有导体时的静电场1/200本章将讨论导体的静电平衡问题。首先学习导体的静电平衡条件、静电平衡时导体的静电学性质及应用；然后学习电容器及其电容；最后讨论电容器的储能。第二章有导体时的静电场2/200§2.1静电场中的导体一、静电平衡1.什么是静电平衡状态从静电感应过程来说明什么是静电平衡以及静电平衡的条件。第二章有导体时的静电场3/200++++++++++++0E外电场中的导体平板第二章有导体时的静电场4/20000EEE0E++++++++＇E0E0E导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度第二章有导体时的静电场5/200导体上自由电子不做宏观运动（没有电流）的状态称为静电平衡状态，简称静电平衡。2.导体的静电平衡条件导体内部场强处处为零，即00EEE内这一基本条件，是考虑静电平衡导体问题的前提和出发点，应很好地领会。第二章有导体时的静电场6/200★关于静电平衡条件，应明确以下几点（1）是导体静电平衡的充要条件。0内E（2）导体内部的场强是指一切电荷（包括导体上的电荷和导体外的电荷）产生的合场强。（3）导体的静电平衡状态可以由于外部条件的变化（如施感电荷或距离的变化）而受到破坏。第二章有导体时的静电场7/200（4）有非静电力时，平衡条件应改为导体内部的自由电荷所受的一切力的合力为零。二、导体的静电性质以静电平衡条件为前提，以高斯定理、环路定理为根据，是分析问题的基本方法。1.导体是等势体，导体表面是等势面【证明】如图所示，在导体上任取两点A、B第二章有导体时的静电场8/2000dABABlEUBAUU++++++AB注：导体的静电性质1可以视为是用电势表述的静电平衡条件。2.导体内部处处没有未抵消的净电荷（即电荷的体密度），电荷只能分布在导体的表面。0内第二章有导体时的静电场9/200++++++++++S【证明】0E0dqSES0q0内这也就是在讨论静电场中的导体时，不出现电荷体密度，而只有电荷面密度的原因。第二章有导体时的静电场10/200讨论空腔导体上的电荷分布（1）空腔内无电荷S0dSSE0iq电荷分布在表面上。问：内表面上有电荷吗？第二章有导体时的静电场11/200结论：电荷只分布在外表面上（内表面无电荷）0dSSES++--AB++++++++++若内表面带电0dBAABlEU导体是等势体0dBAABlEU所以内表面不带电矛盾0iq第二章有导体时的静电场12/200（2）空腔内有电荷qq2SqQ问：内表面上有电荷吗？0d2SSE0iqqq内第二章有导体时的静电场13/2003.在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷密度成正比。neEˆ0结论：当空腔内有电荷时，内表面因静电感应出现等值异号的电荷，外表面增加感应电荷（电荷守恒）。qqq第二章有导体时的静电场14/200【证明】①因为电场线处处与等势面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。②如图所示，由高斯定理得0dSSES+++++++++++E作钱币形高斯面S0E0SSEn第二章有导体时的静电场15/2000nEneEˆ0第一、导体表面附近一点的场强，是所有电荷（包括该导体表面所有电荷以及其它带电体的电荷）产生的合场强。p★为了正确理解上述与的关系，需要澄清下面两个问题：E第二章有导体时的静电场16/200问：其他电荷对点场强的贡献表现在哪里呢？它们是怎样影响点场强的呢？ppB++++++++p000pE孤立带电导体球pB++++++++0pEA非孤立带电导体球第二章有导体时的静电场17/200其它地方的电荷通过影响导体表面各点的电荷密度来间接影响其附近的场强。第二、对一个电荷面密度为的带电面如果考虑其中心附近紧靠面上各点的场强，则可以把当作无限大平面来看待，其场强为；而对于导体面上有同样电荷密度的一个面，面外邻近点的场强却为,是前者的两倍，为什么结果不同呢？S02/0/SS第二章有导体时的静电场18/200注意两者的区别：前者是上的电荷单独产生的场强，后者是既包括，又包括其它所有电荷产生的场强。正是由于其它电荷产生的电场的影响，使面内的场强等于零，使面外附近的场强加倍。SSS第二章有导体时的静电场19/200+++++++++++1p2p1ES/1E/2E2E面元上电荷单独在、点产生的电场SS1p2pneEEˆ201/1其它电荷产生的电场，由静电平衡条件得第二章有导体时的静电场20/200neEEˆ20/22第二章有导体时的静电场21/200三、有用结论（熟记）1.在导体表面处，面元上的电荷单独产生的场强为S1Eˆ2ˆ2001nneeE（导体外侧）（导体内侧）第二章有导体时的静电场22/2002.在导体表面附近点，不论在导体内部还是导体外部，导体表面上除外其它所有电荷产生的场强为S2Eˆ2ˆ2002nneeE（导体外侧）（导体内侧）第二章有导体时的静电场23/2003.带电导体表面上任一面元受到的静电力SdSpEFd)(d2++++++nˆe2ESdp其它所有电荷在点产生的场强为pnepEˆ2)(02neSFˆd2d02第二章有导体时的静电场24/200这就是导体表面任一面元的受力公式。把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。力的方向与导体带电的符号无关，总是在外法线方向，是一种张力。dS四、孤立导体的形状对电荷分布的影响1.孤立导体表面的电荷分布向外突出的地方（曲率为正且较大）电荷较密；比较平坦的地方（曲率较小）电荷较疏第二章有导体时的静电场25/200向里凹进的地方（曲率为负）电荷最疏。+++++++++EE;,0E第二章有导体时的静电场26/200【注意】上述定性规律不是绝对的、普遍的规律。这里要注意两个条件：一是孤立导体，二是导体的形状比较规则。第二章有导体时的静电场27/2002.尖端放电带电导体尖端附近的电场特别强，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电。++++++++++第二章有导体时的静电场28/200第二章有导体时的静电场29/200尖端放电现象的利与弊利避雷针、静电加速器、感应起电机、静电除尘、静电喷漆、静电植绒等。弊浪费电能，干扰通讯和电视信号等。第二章有导体时的静电场30/200避免尖端放电的方法：导体表面应尽量光滑，具有高电压的零部件尽可能做成光滑的球面。五、导体静电平衡问题的讨论方法从静电平衡的性质出发，利用某些解题技巧，必要时加上电场线这一形象工具，就构成了定性、半定量地讨论静电平衡问题的有效方法。第二章有导体时的静电场31/200【例1】在如图所示的静电感应现象中，是带正电的点电荷，是中性导体，试证左端的感生负电荷绝对值小于等于施感电荷ABqBqqBqqAq××①②③【证明】先用反证法排除掉②③两种可能性。第二章有导体时的静电场32/200假设止于B左端的电场线发自B右端的正电荷，将导致的矛盾结果。可见②的可能性不存在。右左BBUU假设止于B左端的电场线发自无限远，将导致与矛盾结果。可见③的可能性也不存在。BUUUUB可以肯定，止于B左端的电场线全部发自于A上的正电荷。由高斯定理的几何意义，起第二章有导体时的静电场33/200于A上正电荷的电场线条数为，止于B上电场线条数为，而起于A的电场线还有一部分止于无限远（因为）因此后者小于前者，即。0/q0/qUUUBAqq在特殊情况下，施感电荷发出的电场线可以全部止于感应电荷上，因而有。qqqq第二章有导体时的静电场34/200【例2】中性封闭导体壳内有正点电荷，求壳内、外壁感生电荷的数量。qqqSq【解】根据电场线的性质1或直接利用高斯定理即可得到。第二章有导体时的静电场35/200【例3】把例1的导体B接地，试证B上不再有的点。0BABAUUUB地【证明】假设B上某点有，则它所发场线只能伸至无限远，故；另一方面，B接地导致UUB0第二章有导体时的静电场36/200【例4】半径为、电荷为的金属球外有一与球心距离为的点电荷，求金属球的电势（参考点在无限远）。RQlqoqlRS【解】因为金属球为等势体，只要求得球心o的电势即可。根据电势叠加原，与矛盾。命题得证。UUBUUUB地第二章有导体时的静电场37/200理，球心的电势等于点电荷的电势和球面电荷在该点产生的电势的叠加。ORQlqSRlqRSlqUSS000000044d4144d4第二章有导体时的静电场38/200【例5】半径为的接地金属球外有一与球心距离为的点电荷，求金属球的感生电荷。RlqqoqlRS【解】由接地导体球的电势等于零，得04400RqlqlRqq第二章有导体时的静电场39/200上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面所作的定性讨论结果一致。当点电荷无限靠近导体球面时，，因而有，这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。qqRlqq六、平行板导体组问题有导体存在时静电场的分析和计算，通常要综合利用静电平衡条件，电荷守恒和高斯定理。第二章有导体时的静电场40/200AqBq【例1】长宽相等的金属板A和B在真空中平行放置，板间距离比长宽小得多。分别令每板带电和的电荷，求每板表面的电荷密度。neˆA1p12342pB【解】因为，所以可以忽略边缘效应，即板可以视为无限大。由对称性可知两板四壁的电荷分布均匀，其电荷面密度如图所示。2dS第二章有导体时的静电场41/200neˆA1p12342pB在A板内取一点，其合场强为1p0ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2040302011nnnnpeeeeE04321再在B板内取一点，类似地有2p第二章有导体时的静电场42/20004321设每壁面积为，由已知条件得S4132①SSq21A②SSq43B③②③两式相加、减并注意到①式，得第二章有导体时的静电场43/200Sqq2BA41Sqq2BA32可见，两板相对两面总带等量异号电荷，相背两面总带等量同号电荷，这是普遍关系式。第二章有导体时的静电场44/200讨论①设，用电池对平行板电容器充电BAqq就是这种情况，代入普遍关系式得041SqA32说明电荷只分布在两板内侧。②设，分别令两板带电就是这种情况BAqq第二章有导体时的静电场45/200SqA41032说明电荷只分布在两板外壁。③设，则由普遍关系式得25BAqq10S3A41q10S7A32q即四壁都有电荷。第二章有导体时的静电场46/200【例2】在上例两板间插入长宽相同的中性金属板C，求六个壁的电荷面密度。A1256neˆ34CB【解】每板内取一点可列三个方程，由三板的电荷又可列三个方程，联立求解得第二章有导体时的静电场47/200S2BA61qq2SBA5432qq与两板普遍关系式对比可知，中性板的插入不改变原来两板的电荷分布，但中性板两壁却出现等量异号电荷。第二章有导体时的静电场48/200小结1.导体的静电平衡条件2.导体的静电性质3.导体静电平衡问题的讨论方法要深刻体会电场线的应用。练习习题：2.1.12.1.22.1.32.1.42.1.52.1.6思考题：2.12.22.3第二章有导体时的静电场49/200§2.2封闭金属壳（