25双曲线的标准方程

双曲线及其标准方程1.椭圆的定义和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习双曲线图象拉链画双曲线|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a2c；oF2F1M平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a0；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,yx2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题焦点位置：椭圆看大小，双曲线看正负定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab练习写点标1：根据方程，出焦坐及a,b的值2222xy(1)+=1和x-15y=152592222xyyx(2)+=1和-=14334练习条写双线标点轴2：根据下列件，出曲准方程(1)a=4,b=3，焦在x上；(2)焦距为4,b=1解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设所求方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.所以点P的轨迹方程为221916xy.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是一条双曲线,例1(参考课本P58例)已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.变式训练1:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足1210PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴1210PFPF轨迹方程为0(55)yxx或≥≤.∵1210FF,点P的轨迹是两条射线,变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.变式2答案变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设双曲线方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点P的轨迹方程为221916xy(3)≥x.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的一支课本例2(右支),例1已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点Ｐ1,Ｐ2的坐标分别为，求双曲线的标准方程．5,49,24,3解:因为双曲线的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为).0,0(12222babxay将Ｐ1,Ｐ2代入方程得1)49(2513242222222baba.91622ba所以所求双曲线标准方程为.191622xy1116811251191322222baba911161122ba？或191622yx例1已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点Ｐ1,Ｐ2的坐标分别为，求双曲线的标准方程．5,49,24,3)0(,122mnnymx解二：设椭圆方程为12516811329nmnm16191nm所以所求双曲线标准方程为.191622xy解这道题能不能不讨论呢？该题的解法待定系数法,其基本步骤为定型、列式，对于双曲线方程的选取，应用Ax2－By2=1(AB＞0)可回避讨论，且解二元一次方程组简捷迅速。别为对边顶点轨迹1例3.ΔABC中，A(-4,0)，B(4,0)若a-b=c，(a、b、c2分∠A、∠B、∠C的）,求C的方程。解：cba21yxABOC|BC|－|AC|||21AB=4＜|AB|=8∴点B的轨迹为A、B为焦点的双曲线的左支且2a=4,2c=8,∴顶点C的轨迹方程为y212x24－=1(x＜2)令y=0得x=22本题也可直接用坐标表示cba214442222yxyx即2.已知动圆P⊙与221:(5)36Fxy⊙内切,且过点2(5,0)F,求动圆圆心P的轨迹方程.变式训练：221(3)916xyx例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_____________.22121xymm思考：21mm得或(2)(1)0mm由2m∴m的取值范围为(,2)(1,)使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则3402680PAPB即2a=680，a=340800AB8006800,0PAPBx1(0)11560044400xyx222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?答:爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.课堂练习(巩固及提高):1.已知在ABC△中,(5,0),(5,0)BC,点A运动时满足3sinsinsin5BCA,求点A的轨迹方程.221(3)916xyx练习第1题详细答案本课小结2.课本62P习题2.3A组第5题如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?学习小结:本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,体会双曲线在实际生活中的一个重要应用.其实全球定位系统就是根据例2这个原理来定位的.运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最容易想到的地方.2.已知动圆P⊙与221:(5)36Fxy⊙内切,且过点2(5,0)F,求动圆圆心P的轨迹方程.221(1)48xyy≤作业:1.课本67P习题2.3B组第2题1选做作业:1.设12,FF是双曲线2214xy的两个焦点,点P在双曲线上,且满足1290FPF,那么12FPF△的面积是_______.2.已知点(0,7)A,(0,7)B,(12,2)C,以点C为焦点作过A、B两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点F的轨迹方程.221(3)916xyx3sinsinsin,5BCA解:在△ABC中,|BC|=10，331061055ACABBC由正弦定理得故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=41(3)916xyx22则顶点A的轨迹方程为课堂练习(巩固及提高):1.已知在ABC△中,(5,0),(5,0)BC,点A运动时满足3sinsinsin5BCA,求点A的轨迹方程.