6.2 等差数列及其前n项和

要点梳理1.等差数列的定义如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.§6.2等差数列及其前n项和从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数公差dan=a1+（n-1）d基础知识自主学习3.等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+，（n，m∈N*）.（2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则.（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是.2dak+al=am+an(n-m)d等差数列2baA（5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）是公差为的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn=或Sn=.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=.数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的，即Sn=.md2)(1naandnnna2)1(1ndand)2(212An2+Bn，（A2+B2≠0）二次函数或一次函数且不含常数项7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最值.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质（1）若{an}是等差数列，则也成数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成数列.小等差nSn21等差大（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质①若项数为2n，则S偶-S奇=，=.②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为：=.ndnan偶奇SS.1nnSS偶奇1nnaannba1212nnTS基础自测1.(2009·辽宁){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=（）A.-2B.C.D.2解析根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d=B2121.212.已知数列{an}中,a1=1,则a10等于（）A.B.C.D.以上都不对解析由a1=1,得为等差数列.∴∴B,31111nnaa31111nnaana1,323131)1(111nnaan.41,43231011010aa5141613.（2009·福建）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于（）A.1B.C.2D.3解析设{an}首项为a1,公差为d,则S3=3a1+d=3a1+3d=6,a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.C352234.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8等于（）A.6B.9C.12D.18解析由S13==13a7=39得a7=3，∴a6+a7+a8=3a7=9.B2)(13131aa5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若则等于（）A.1B.-1C.2D.解析由等差数列的性质，A,9535aa59SS21,952251913535aaaaaaaa.19559592)(52)(95191519159aaaaaaaaSS题型一等差数列的判定【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R，且p、q为常数).（1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；（2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.(1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an必为一个常数.(2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.思维启迪题型分类深度剖析(1)解an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0,.故当p=0,时，数列{an}是等差数列.(2)证明∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列.RqRq探究提高证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数.知能迁移1设两个数列{an},{bn}满足bn=若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.,32132321nnaaaan证明由题意有a1+2a2+3a3+…+nan=①从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=bn-1，（n≥2）②2)1(nnnbnn2)1(由①-②，得nan=整理得an=其中d为{bn}的公差（n≥2）.从而an+1-an=（n≥2）.又a1=b1,a2=d+b1,∴a2-a1=d,所以{an}是等差数列.,2)1(2)1(1nnbnnbnn,21nnbbnd22)1(11nnnnbbndbbdnddd23222323题型二等差数列的基本运算【例2】在等差数列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;（2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1.在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.思维启迪解（1）方法一设首项为a1,公差为d,依条件得33=a1+14da1=-23,153=a1+44dd=4.∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.,解方程组得,430331531545,1545aadmnaadmn得（2）∵a6=10,S5=5,∴解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,a1+5d=105a1+10d=5.S8=8×=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有(a-d)+a+(a+d)=12(a-d)·a·(a+d)=48,a=4a=4a(a2-d2)=48d=±2.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2.2)(81aa,∴∴方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.探究提高知能迁移2设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.（1）证明a1=d;（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式.（1）证明因为a1,a2,a4成等比数列，故=a1a4.而{an}是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d.于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即+2a1d+d2=+3a1d.化简得a1=d.（2）解因为S10=110，S10=10a1+d，所以10a1+45d=110.由（1）a1=d,代入上式得55d=110,故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.因此，数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2,3,….22a21a291021a题型三等差数列的性质及综合应用【例3】（12分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.（1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.思维启迪解方法一∵a1=20，S10=S15，∴10×20+d=15×20+d，∴d=4分∴an=20+（n-1）×8分∴a13=0.即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.10分∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=12×20+=130.12分291021415.35.36535)35(n)35(21112方法二同方法一求得d=4分∴Sn=20n+==8分∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.12分.35)35(2)1(nnnn6125652.241253)225(652n.35探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.知能迁移3在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.解（1）设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,∴d==3,∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,an=3n-63≤0an+1=3n-60≥0∴S20=S21=∴当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.824917917aa令,得20≤n≤21,,6302)]3(60[20（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数.当n≤21时，Tn=-Sn=当n＞21时，Tn=Sn-2S21=2)63360(nn.2123232nn2122)63360(Snn.26012123232nn综上，Tn=（n≤21，n∈N*）（n＞21,n∈N*）.260121232321232322nnnn方法与技巧1.等差数列的判断方法有(1)定义法：an+1-an=d(d是常数){an}是等差数列.(2)中项公式：2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列.(3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）{an}是等差数列.(4)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A、B为常数）{an}是等差数列.思想方法感悟提高2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到.4.等差数列的前n项和公式Sn=很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样.5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+d可以变形为类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.2)(1naan2)1(nn,)2(2112ndadnSn失误与防范1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aq≠ap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常