似不相关回归

第十二章似不相关回归一、单一方程估计与系统估计截至目前，我们仅考虑对单一方程的估计，但有时候会出现多个方程的情形。如果多个方程之间有某种联系，那么将这些方程同时进行联合估计有可能提高估计的效率，这被称为系统估计。cross-equationrestrictions有时多个方程是从同一个最大化问题推导而来（比如，从企业的利润最大化问题导出对资本与劳动力的需求），故在理论上存在跨方程的参数约束（）。多方程联合估计为检验这些跨方程约束提供了可能。也可以在加上这些约束条件后再进行系统估计。contaminate对多方程系统进行联合估计的缺点是，如果某个方程的误差较大，则系统估计会将这一方程的误差带入其他方程中，进而污染（）整个方程系统。故选择单一方程估计或系统估计，实际上是在有效性与稳健性之间的权衡。simultaneousequations多方程系统主要分为两类。一类为联立方程组（），即不同方程之间的变量存在内在的联系，一个方程的解释变量是另一方程的被解释变量。SeeminglyUnrelatedRegressionEstimationSURSURE另一类为似不相关回归（，或），即各方程的变量之间没有内在联系，但各方程的扰动项之间存在相关性。本章介绍似不相关回归例：以研一学生的计量经济学成绩与英语成绩作为两个被解释变量。这两个方程所包含的解释变量可以不同，比如，第一个方程可以包括虚拟变量“是否学过本科计量学”，而第二个方程可以包括“考研英语成绩”。这两个方程的变量之间貌似没有联系，但由于同一学生的不可观测因素同时对计量成绩与英语成绩造成影响，故两个方程的扰动项应该是相关的。如果将这两个方程同时进行联合估计，则可以提高估计效率。二、似不相关回归的假定innTTniK似不相关回归模型的假定如下：假设共有个方程（个被解释变量），每个方程共有个观测值，在第个方程中，共有个解释变量。iiiiiiT1TKK1T1iyXin第个方程可以写为＝＋（＝1，2，，）nniii=1i=111112222nnnnnT1nT1K1nTKyX0yXyXy0X将所有方程叠放在一起可得＝＋＋112212nnn11121n21222nn1n2nnnTnTVarEE可以想象，在电脑中，也把数据排成这个样子（需要加上许多零）。考察大扰动项的协方差矩阵＝＝iiiiiiTiiiEI假设同一方程不同期的扰动项不存在自相关，且方差也相同，记第个方程的方差为。则协方差矩阵中主对角线上的第，个矩阵为＝ijitjstsE0ts假设不同方程的扰动项之间存在同期相关（如果是横截面数据，则指的是不同方程对应的扰动项之间，＝存在相关性），即＝，ijijTijijEI则协方差阵中的第，个矩阵为＝11T12T1nT21T22T2nTn1Tn2TnnTIIIIIIIII综合以上结果可知＝TTIIKroneckerproduct由于中的每个小块矩阵都有共同的因子，我们自然想把从右边提取出来。这可以通过矩阵的克罗奈克积（）来实现。111nmnm1mnpq111nm1mnmpnqaaAaaBABaBaBABaBaB定义：对于任意两个矩阵＝与（矩阵，的维度可以完全不同），克罗奈克积为111ABAB1ABCDACBD2ABAB3ABAB－－－容易看出，对于任意矩阵，，其克罗奈克积总是有定义的。可以证明，克罗奈克积具有以下性质：＝＝＝11121n21222nTTn1n2nnII使用克罗奈克积，可以将扰动项的协方差矩阵简化为＝＝11121n21222nn1n2nn11TI－－其中，为同期协方差矩阵。根据克罗奈克积的性质，的逆矩阵可以写为＝FGLS三、估计111GLS111TTOLSyXGLSˆXXXyXIXXIy－－－－－－由于不是单位矩阵，故用估计这个多方程系统＝＋不是最有效率的。假设已知，则是最有效率的估计方法：＝＝GLSOLSGLSOLSGLS一般来说，这个估计量与单一方程估计量不同。但如果出现以下两种情形之一，则与单一方程的结果完全相同，使用并不会提高效率。1当各方程的扰动项互不相关时。在似不相关回归模型中，各方程间唯一的联系就是扰动项之间的相关性。如果扰动项互不相关，则是单位矩阵，那么不难证明系统估计与单一方程估计并无区别。2VAROLSVAR当每个方程包含的解释变量完全相同时。比如，向量自回归模型中的每个方程包含完全相同的解释变量，故使用单一方程估计就够了12nGLSXXXGLSGLSOLS除了以上两种特殊情形外，通常来说，各方程的扰动项之间的相关性越大，则所能带来的效率改进就越大；各方程的数据矩阵，，，之间的相关性越小，则所能带来的效率改进也越大（如果各数据矩阵完全相同，则还原为单一方程）ijˆFGLSOLSOLS然而，在现实中一般是未知的，故首先需要估计，然后进行估计。由于对每个方程分别进行回归也是一致的，故可以使用单一方程的残差来一致地估计。iijTijijitjtt=1iOLSe11ˆeeeeTT假设第个方程的残差向量为，则的一致估计量为＝＝11121n21222nTn1n2nn111GLS111SURSURSURˆˆˆˆˆˆˆˆIˆˆˆˆXXXyˆˆˆXXXyˆFGLSˆˆ－－－－－－因此，＝将代入方程＝可得＝这就是似不相关估计量，记为。使用后得到新的残差，可以再一次计算，不断迭代直至系数估计值收敛四、假设检验00SURHRrHRrRrFGLS在对多方程系统进行估计后，对线性假设“：＝”的检验可以照常进行。由于包含了所有方程的参数，故可以检验方程的参数约束。如果接受“：＝”，则可把“＝”作为约束条件，进行有约束的估计。SUROLSSU需要指出的是，即使各方程的解释变量完全相同（这种情况在经济学中常常出现。比如，对一组商品的需求取决于这组商品的价格及收入；对一组资产的需求份额取决于这组资产的回报率及总财富。当需求份额必须加总为1时，可以选择将其中一个方程去掉，否则扰动项的协方差矩阵将为不可逆的退化矩阵），有时也使用而不使用单一方程以便检验跨方程的参数约束。如果存在跨方程的参数约束，则即使各方程的解释变量完全相同，ROLS估计与单一方程也不再等价。00SURHH模型的基本假设是，各方程的扰动项之间存在同期相关。为此，可以检验原假设“：各方程的扰动项无同期相关”，即“：为对角矩阵”。ni-1d22LMiji=2j1ijijijiijjBreuschandPaganLMTrnn-12ˆrˆˆ＝建议使用以下统计量：＝其中，＝为根据残差计算的扰动项与之间的同期相关系数，ni-12iji=2j111121n21222nn1n2nnrrrrrrrrrr＝而为同期相关系数矩阵主对角线以下各项之平方和（该矩阵为对称矩阵）SUR五、变系数面板数据的估计ititiitiyxiSUR在上一章曾讨论过以下变系数面板数据模型：＝＋其中，为第个个体对应的系数（常数）。虽然不同个体拥有自己的系数（含截距项与斜率），但不同个体的扰动项却可能相关，故应使用进行系统估计。