《数学竞赛》 第五章 几何

2020/2/31第五章几何§5.2几个重要定理DZYXABC一、梅涅劳斯(Menelaus)定理及逆定理：△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上各有一点X、Y、Z（延长线上有1个或3个点），（1）若X、Y、Z共线，则BXCYAZ=1XCYAZB；（2）若BXCYAZ=1XCYAZB，则X、Y、Z共线．2020/2/32§5.2几个重要定理一、梅涅劳斯(Menelaus)定理及逆定理：（2）若BXCYAZ=1XCYAZB，则X、Y、Z共线．应用同一法．题设为BXCYAZ=1XCYAZB，欲证X、Y、Z共线．如图，连结XY延长交AB于Z’，须证明Z’与Z是同一点．由（1）可知，BXCYAZ'=1XCYAZ'B．根据题设又知BXCYAZ=1XCYAZB．对照两式可得AZAZ'=ZBZ'B，则AZAZ'=ABAB，因此有AZ=AZ'，即Z’就是Z．表明X、Y、Z共线．证毕．Z'ZYXABC2020/2/33§5.2几个重要定理二、塞瓦(Ceva)定理及逆定理：△ABC的三边BC、CA、AB上各有一点X、Y、Z（延长线上有0个或2个点），则AX、BY、CZ三线交于一点（或平行）的充要条件是BXCYAZ=1XCYAZB．ZYXABCCBAXYZ2020/2/34§5.2几个重要定理例1：证明：在三角形中，（1）三条中线交于一点（重心）；（2）三条角平分线交于一点（内心）；（3）三条边的中垂线交于一点（外心）；（4）三条高交于一点（垂心）ZYXABC2020/2/35§5.2几个重要定理例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).YZCXBA2020/2/36§5.2几个重要定理例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).见课本P191.例1证明：因为22ABPACPSBPABPCSAC．ABCPRQ5.2.2图同理有22CQBCQABA,22ARCARBCB．所以1BPCQARPCQARB．则P、Q、R三点共线．2020/2/37§5.2几个重要定理例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).例3：如图5.2.2，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).YZCXBAABCPRQ5.2.2图笛沙格（Desargues）定理2020/2/38例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证明：AD平分∠EDF．§5.2几个重要定理见课本P195.例5P图5.2.7DBCFEANM证法1：利用Ceva定理2020/2/39例4：设AD是△ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证明：AD平分∠EDF．§5.2几个重要定理见课本P195.例5P图5.2.7DBCFEA证法2：Q完全四边形的调和性10§5.2几个重要定理三、托勒密(Ptolemy)定理：四边形ABCD内接于圆，则有：AC·BD=AB·CD+AD·BC．ABCDE分析：可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明:在AC上取点E，使ADE=BDC，由DAE=DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ADB=EDC，ABD=ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．2020/2/311•例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.•即：证明AP=BP+PC§5.2几个重要定理BPCAD证法1：延长BP至D使PD=PC，连CD.然后证明AP=BD.证明△ACP≌△BCD.2020/2/312•例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.•即：证明AP=BP+PC§5.2几个重要定理BPCAC’证明△ABC’≌△CBP.证法2：在AP上取一点C’，使PC’=BP，连BC’.然后证明AC’=PC.2020/2/313•例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.•即：证明AP=BP+PC§5.2几个重要定理BPCA证法3(托勒密定理)：BC·AP=AC·BP+AB·PC，所以AP=BP+PC2020/2/314§5.2几个重要定理=222一2020/2/315§5.2几个重要定理五、西姆松（Simson）定理三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.XYZABCP12•证法一：只需证∠1+∠2=180°证法二：应用Menelaus定理2020/2/3162020/2/317DBFAPC习题5.21.如图，F是P的平分线上一点，过F作两直线,ADBC分别交P的一边于A、C，交另一边于B、D，求证：ACPAPCBDPBPD.1PDBFCADBFCAPACPACFBDPDFBCFPCFBPBACPAPCBDPBPDMenelaus定理2020/2/318BDOCFEA改述为：如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.证法1：（塞瓦定理）因AD、BE、CF交于一点，所以有又EF∥BC，则AFAEFBEC，1BDCEAFDCEAFB，代入上式得BD=DC.2020/2/319BDOCFEA改述为：如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.证法2：完全四边形的调和性P∞。(BC,DP∞)=-1BD=DC2020/2/320§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题证明四点共圆，通常用下列方法：（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）（2）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，证明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角．2020/2/321§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点．设O是四边形的外心，则OM⊥AB，ON⊥AD,因此，A、M、O、N共圆。2020/2/322§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题例2．密克（Miquel）定理：在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三个圆共点.ＡＢＣＸＹＺＭ1232020/2/323例3见课本P204.例1242020/2/325§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△ＡＢＣ三边中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ的中点则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒ九点共圆PQRDFEMNLHBCA九点圆定理2020/2/326§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题九点圆定理九点圆的性质三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３GOKHBCAPQRDFEMNLHBCA2020/2/327§5.3几个典型的几何问题一、共圆点问题三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３GOKHBCA三角形重心——OA+OB+OCOG=3三角形垂心——OH=3OGOA+OB+OC三角形九点圆心——11OKOH=(OA+OB+OC)222020/2/328例5.设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．（1992年全国高中数学联赛）三角形垂心——OH=OA+OB+OC见课本P205.例32020/2/329§5.3几个典型的几何问题二、共线点问题证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：1.利用平角：证明∠XYZ=180°（或0°）2.证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用Menelaus定理5.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心6.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等☆2020/2/330见课本P2072020/2/331证法二：利用二次曲线的极与极线.N•例6：在△ＡＢＣ中以ＢＣ为直径的圆交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ，Ｅ，求证：圆在Ｅ，Ｆ的切线与高线ＡＤ共点．MHFDEABC分析一：设过E点的切线交AD于M，易证图中三个角相等，则ME=MH=MA.连FM，须证FM是圆的切线作F点的半径FO，只需证FO⊥FMO123结论为三线共点，注意到E、F的切线就是E、F的极线.AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明之.2020/2/332NHFDEABCPQ“共线点的极线共点”“共点线的极共线”PQH——AP的极——AQ的极——AN的极2020/2/333NHFDEABCPQNPQHFEABC条件“BC为直径、H是垂心”有用么？D2020/2/334NHFDEABCPQNHFDEABCPQ圆也可以换.2020/2/335§5.3几个典型的几何问题三、共点线问题证明三线共点的方法：1.转化为共线点的问题来证明2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用Ceva定理4.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心5.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、布利安双（Brianchon）定理等6.解析法☆2020/2/336FBCDHGEA例（牛顿定理）.求证:圆外切四边形对边切点的连线与对角线四线交于一点.2020/2/337习题5.34.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.FBCDEAFBCDEAO1O2O3PF2F12020/2/338EBCDPA习题5.38.AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC、BD，并过C、D引圆O的切线交于点P.过P作PE⊥AB于E，则AC、BD、PE三线共点.Q2020/2/339已知：AB’∥A’B，AC’∥A’C，求证：BC’∥B’C.l'lCA'BC'B'AP思考题：2020/2/340已知：AB’∥A’B，AC’∥A’C，求证：BC’∥B’C.AA’B’C’BCPQR.........l'lCA'BC'B'A帕普斯（Pappus）定理思考题：