五种插值法的对比研究

学号：20138大学毕业论文五种插值法的对比研究AComparativeStudyofFiveInterpolationMethods学院:理学院教学系：数学系专业班级:信息与计算科学专业1301学生姓名:指导教师:讲师2017年6月7日目录内容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．IAbstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II1导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11.1选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11.2研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32.1拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32.2牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．42.3分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．42.4分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．52.5样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．63.1五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．63.2五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．154结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22I内容摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中遇到的函数是许许多多的，有的甚至给不出表达式，只供给了一些离散数据，例如，在查对数表时，需要查的数值在表中却找不到，所以只能先找到它相邻的数，再从旁边找出它的更正值，按一定的关系把相邻的数加以更正，从而找出要找的数，这种更正关系事实上就是一种插值。在实际应用中，采用不同的插值函数，逼近的效果也不同。我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三Hermite插值和样条插值函数。此篇论文就是围绕这些插值法展开讨论，先是简单介绍五种插值法，了解其基本概念及解题思路，然后通过分析对比不同插值法在解答典型例题的过程中存在的优缺点进行总结对比，得出结论。最后使用MATLAB软件的编程实现，绘制出不同插值法下的函数曲线，从几何上再次进行对比，得出结论。通过此次论文的写作，我对于插值法有了更深的理解和认知，对于今后插值法的选择也会更加容易权衡把握。关键词：插值法；对比；插值函数；多项式IIAbstract:Interpolationisoneofthemostbasicmethodsinnumericalanalysis.Therearemanyfunctionsinpracticalproblems,somegivenoexpression,someonlysupplydiscretedata.Soweonlyfinditagainfromtheadjacentnumbernexttofinditscorrectvalueandaccordingtoacertainrelationshiptotheadjacentnumbercorrected.Thecorrectrelationshipisaninterpolationinfact.Inpracticalapplications,theeffectofapproximationisalsodifferentwhendifferentinterpolationfunctionsareused.Wehavecontactedfivebasicinterpolationmethods,suchasLagrangeinterpolation,Newtoninterpolation,piecewiselinearinterpolation,piecewisethreeHermiteinterpolationandsplineinterpolationfunction.Firstly,thispaperintroducesthebasicconceptsandideastosolveproblemsoffivekindsofinterpolationmethods.Andthenthroughthecomparativeanalysisoftheadvantagesanddisadvantagesofdifferentinterpolationmethodsintheprocessofsolvingtypicalproblems.Finally,usingMATLABsoftwareprogramming,drawdifferentinterpolationmethodoffunctioncurve,fromgeometryagaincontrast,drawconclusions.Throughthewritingofthispaper,Ihaveadeeperunderstandingandrecognitionoftheinterpolationmethod,anditwillbeeasiertobalanceandselectwhichinterpolationmethodstouseinthefuture.KeyWords:Interpolationmethodcomparisoninterpolationfunctionpolynomial11导言1.1选题背景插值方法最早来源于生产实践，作为一种数学方法，其经历了漫长的历史考验与证实。早在数千多年前，我们的祖先就凭借插值方法，利用已知的少部分日月五星运行规律的观测值获得了相对较完整的运行规律。在一千多年前的隋唐时期，中国的贤能之士就将插值技术应用到了制定历法的过程中。而到公元六世纪时，隋朝的刘焯又把等距节点的二次插值应用于天文计算中。在16-19世纪，多项式插值被用来解决航海学和天文学的一些重要问题。十七世纪时，牛顿（Newton）和格雷格里（Gregory）建立了等距结点上的一般插值公式，后来拉格朗日（Lagrange）建立出了非等距结点插值公式。在微积分产生并且广泛应用之后，插值的基本理论和结果随之有了进一步的完善，之后其应用也越来越广泛，尤其是在计算机普遍使用之后，插值法在各领域中的地位也越来越重要，与此同时自身也得到了发展。经典的插值方法是基于泰勒插值（Taylor）和拉格朗日插值的，其实Taylor插值与拉格朗日插值的联系十分密切，即拉格朗日插值的极限形式可以视为Taylor插值，反之，Taylor插值的离散化形式就是拉格朗日插值。我们在建立拉格朗日插值多项式时很是简单方便，但一旦节点增加，就不能再使用原来的多项式计算，需要重新建立新的多项式，这无疑使计算变得繁琐起来，而Newton（牛顿）插值就克服了这一问题。此外根据实际问题，插值法的应用在很多情况下都需要尽量满足插值函数与原函数相差无异的前提，即要求在节点上插值函数与被插值函数的函数值和导数值都是相等的，也就是另一种插值法，Hermite（埃尔米特）插值法。事实上，我们把Taylor插值和拉格朗日插值进行联系融合就能总结出Hermite（埃尔米特）插值，这也推广了前两种插值法。2现在，插值技术的应用在很多领域得到了普及，当我们需要认识某一事物的本质时，常根据其观测点，利用插值技术对特定问题进行深入拓展和解决，以加深对该事物的认识。多项式插值是函数插值中最常用的一种形式。在一般的插值问题中，插值条件可以唯一地确定一个次数不超过n的插值多项式。从几何上可以解释为：可以从多项式曲线中找出一些不超过n次的点通过平面上1n个不同的点。插值多项式有两种常用的表达式形式，一种是拉格朗日插值多项式，另一种是牛顿插值多项式，此外拉格朗日插值公式与牛顿插值公式永远相等。此外，在进行高阶次插值时常常出现不稳定的情况，而采用样条插值和分段线性插值法就可以防止这类情况的发生。分段线性插值或分段三次埃尔米特插值等此种分段低次插值法可以使逼近效果加强，但却整体光滑而不收敛。为此，引入了更理想化的三次样条插值法。1.2研究的目的和意义在数值分析中，对于插值函数的学习是必不可少的，因为它能辅助我们把模糊的数据准确化，把想当然的数据变得无懈可击。但是对于五种插值函数，他们具有不同的优势和适用范围，五种方法对同一问题的处理的结果一定不同，这时对于方法的选择显得至关重要。因此我们对于他们差异化的了解与认知是必不可少的。通过此篇论文的对比研究，我希望不但可以给数值分析领域中的学习者一些帮助和启示甚至让他们在求知的路上少些磕绊，也能推动一些运用到插值函数知识的社会工作领域的工作者的职业进步。32五种插值法2.1拉格朗日插值拉格朗日是n次多项式插值，解题方法是先构造插值基函数再求n次插值多项式。对Lagrangen次插值多项式，首先要选取1n个插值点nxxx,......,10上的n次插值基函数，))...()()...(())...()()...()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl（)...,2,1,0(ni有了这1n个n次插值基函数，就能很容易的写出n次Lagrange插值多项式了，其具体的表达式为)()()(0xlxfxLninii[1]。拉格朗日插值原理：表1插值数值表ix0x1x2x...nx)(ixf)(0xf)(1xf)(2xf...)(nxfLagrange插值的方法是：对于给定的n个插值节点nxxx,......,10和对应的函数值nyyyy,......,,,210，我们利用n次Lagrange插值多项式，可以对插值区间上任意的x对应的函数值y利用下式)(xLn来求解。表1中的n次Lagrange插值多项式)(xLn的数学表达式为：)()()(0xlxfxLninii。其中，)(xli)...,2,1,0(ni是插值基函数，即njjijixxxxxl0)(。Lagrange插值多项式的余项是)()()!1(1)()()()1(xfnxLnxfxRnn，且其中))...()(()(10nxxxxxxx。42.2牛顿插值牛顿插值也是n次多项式插值，提出了构造插值多项式的另一种方法。它具有继承性和易变化节点的特点。牛顿插值原理：Newton插值的方法：由表1构造的牛顿插值多项式为：],...,,[))...((...],,[))((],[)()()(1010210101000nnxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN用