13旋转体的体积

定积分的应用----旋转体的体积22、定积分的几何含义：()()|()()bbaafxdxFxFbFa其中F(x)是被积函数f(x)的原函数。1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）3、定积分基本性质bcbacabababababadxxfdxxfdxxfdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf)()()()3()()()2()()())()(()1(4、结论0)()()(2)()(-0-aaaaaxfxfxfxfxf为奇函数，则若为偶函数，则若最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。（演示）。◆旋转体的定义示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示）。旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴。可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴aby=f(x)dcx=g(y)◆旋转体的体积计算公式1、旋转轴为x轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（f(x)0)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为22()bbxaaVfxdxdyx由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（g(y)0)所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为22()ddyccVgydydxy2、旋转轴为y轴（演示）oxyP(h,r)◆旋转体的体积计算公式例2连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥，计算圆锥的体积。解：如图所示直线OP的方程为，ryxh所求体积为22013hrVxdxrhhhx,0返回例3计算由曲线y=x2与x=y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积。解：如图所示V2V111400ydyydy31012yVVV◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式31,1,0yxxy160xVxdx11600xVdxxdx32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周绕x轴旋转一周176731,1,0yxxy绕x轴旋转一周31,1,0yxxy1y=x31y35,1,yxxx轴213025yVydy34,1,yxyy轴213035yVydy◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周绕y轴旋转一周1y=x3y240xdx◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周1222021221Vxdx3223215212222011yVydyydy◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周32问题的提出返回旋转体概念返回旋转体实例圆锥返回旋转体实例圆柱返回旋转体体积推导返回体积例题3返回体积例题2返回体积例题5返回基本初等函数的导数公式''-1''''''1.()()02.()()()3.()sin()cos4.()cos()-sin5.()()ln6.()()17.()log()ln18.()ln()nnxxxxafxcfxfxxfxnxnRfxxfxxfxxfxxfxafxaafxefxefxxfxxafxxfxx若若若若若若若若定积分与平面图形的面积解1220822(2)2(4)18AAAxxdxxxdx例1计算由和所围成的图形的面积。22yx4yx还有其他方法吗？