求线性规划问题中目标函数最值专题

2018届高三数学第一轮复习求线性规划问题中目标函数最值专题•1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．•2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．•3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.回顾：•1种必会方法•确定不等式表示的区域时，可采用代入特殊点的方法来判断，一般情况下，若直线不过原点时，则代入原点坐标判断．•2项必须防范•1.画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元不等式标准化．•2.注意不等式中不等号有无等号，含等号时，直线画为实线；不含等号时，画为虚线．•3点必知关键•1.线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．•2.目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。•目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等.．•3.线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.例1设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.[－32，6]B.[－32，－1]C.[－1,6]D.[－6，32]利用线性规划求最值（名师，考点二）•[审题视点]解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求出目标函数的最值．•[解析]可行域为如图所示阴影部分．•[答案]A当目标函数线l移至可行域中的A点(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点(12，3)时，目标函数有最小值z＝3×12－3＝－32.•奇思妙想：本例线性约束条件不变，目标函数变为z＝x2＋y2，求其取值范围，该如何解答？解：z可看作(x，y)到原点距离的平方．点O到x＋2y＝2的距离25，点O到点B距离为372，∴z的取值范围[45，374]．•1．利用平面区域求目标函数的最值步骤：•(1)作出可行域；•(2)找到目标函数对应的最优解对应点；•(3)代入目标函数求最值．•2．常见的目标函数：注意：(1)形如z＝ax＋by的截距型；(2)形如z＝y－ax－b的斜率型；(3)形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的距离型．•答案：B[变式探究]设变量x，y满足约束条件x≥0y≥04x＋3y≤12，则z＝y＋1x＋1的取值范围是()A．[0,4]B．[14，5]C．[54，6]D．[2,10]解析：y＋1x＋1表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知y＋1x＋1的最小值是－1－0－1－3＝14，最大值是－1－4－1－0＝5，故选B.例2已知实数x,y满足(1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值；(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值；(3)若求z的最大值和最小值.xy30xy10.x2yz,x【解题指南】(1)作出可行域与直线x-2y=0，观察确定最优解；(2)由几何意义可确定z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的平方，以此求解；(3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的斜率的最值,以此求解.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图所示,图中的阴影部分即为可行域.由得A(1,2);由得B(2,1)；由得M(2,3).xy30xy10x2xy30,xy10xy30,x2xy10,x2(1)由z=x-2y得由图可知,当直线经过点B(2,1)时,z取得最大值,经过点M(2,3)时,z取得最小值.∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4.11yxz,2211yxz22(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直线l的方程为y=x,由得点在线段AB上,也在可行域内.观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离最小.又即∴z的最大值为13,最小值为xy30,yx33N(,),2233N(,),229OM13,ON,2222299xy13,xy13.229.2(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B的连线的斜率值最小,又∴z的最大值为2,最小值为OAOB11yk2,k,2.22x1.2【反思·感悟】1.求目标函数的最值，关键是确定可行域，将目标函数对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的点便是最优解.2.对于目标函数具有明确的几何意义时,其关键是确定其几何意义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离，忽视这一点则极易错解.