单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义都昌三中高一数学组问题引航1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.任意角的三角函数的定义是什么？锐角的正弦、余弦函数的定义：sin_____;cos_____;邻边斜边对边斜边对边邻边斜边以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆．x(1,0)OP(u,v)αyMxsin,cos,MPvOPOMuOP当点P(u,v)就是的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数定义：xyOP(u,v)αA(1,0)（1）v叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=v；（2）u叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=u如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.sin,cosyx角(弧度数)实数三角函数可以看成是自变量为实数的函数一一对应RR定义域函数sincos1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数vu全体实数全体实数2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号方法规律：正弦上正下负，余弦右正左负。3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x,y).(2)结论：OQ的长度为且sinα=___，cosα=___.22rxy,yrxr1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα,cosα中可以将“α”与“sin”，“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角α终边上有一点P(1，1)，故cosα=1.()【解析】(1)错误.符号sinα,cosα是一个整体，不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=×√×12.222.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角α终边经过点则角α的最小正值是______.(2)角α的终边经过点P(m,4)，且cosα=则m=_______.(3)角α满足sinα0,cosα0,则α在第______象限.3,1，35－，【解析】(1)所以α的最小正值为答案：(2)r=因为cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.答案：-322y1r312sin,r2，.62m16，2mm3,r5m16－.6(3)当sinα0时,α在第一、二象限及y轴正半轴，当cosα0时，α在第二、三象限及x轴负半轴，故sinα0,cosα0时，α在第二象限.答案：二【即时练】当角α=0时，sinα=______；若角α=-3，则sinα的符号为______(填“正”或“负”).【解析】当角α=0时，sinα=0；若角α=-3，则角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0负【题型示范】类型一任意角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014·石家庄高一检测)已知角α与单位圆的一个交点坐标是则cosα等于()(2)已知角α的终边经过点P(－2,－4)，求角α的正、余弦函数值.1(a,)2－，313A.B.C.D.222－－不确定【自主解答】(1)选D.因为所以故cosα=(2)因为点P(－2,－4)在角α的终边上，故u1=－2，v1=－4，可知r=OP=所以sinα=cosα=221a()12，3a.23.2222425.－－1v425r525－－；1u25.r525－－【变式训练】已知角α的终边经过点P(2，-3)，则cosα的值是()【解析】选C.角α的终边经过点P(2，-3)，故由三角函数的定义知故选C．33213213A.B.C.D.221313－OP13；213cos13，【考题链接】(2013·西安高一检测)已知角α为第二象限的角.P(a,4)为α终边上一点，且sinα=则sinα+cosα的值为____.45，【解析】|OP|=r=由sinα=得所以a=±3.又α为第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=22a4，452244,5a42233,5a4431.55515类型二三角函数值的符号的应用【典例2】(1)(已知角α是第二象限角，则点P(sinα,cosα)在第__象限.(2)确定下列各式的符号.①cos200°.②sin160°+cos(-40°).③sin210°·cos260°.【自主解答】(1)因为角α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以点P的坐标符号是(+,－)，所以点P在第四象限.(2)①200°为第三象限的角，所以cos200°＜0.②160°为第二象限的角，所以sin160°＞0.-40°为第四象限的角，所以cos(-40°)＞0,所以sin160°+cos(-40°)＞0.③210°为第三象限的角，sin210°＜0,260°为第三象限的角，所以cos260°＜0,所以sin210°·cos260°＞0.四【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014°.(2)(3)sin4·cos4.11cos.6【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°为第三象限的角,所以sin2014°＜0.(2)为第四象限的角,所以cos＞0.(3)4∈所以4rad为第三象限的角.所以cos4＜0，sin4＜0.所以sin4·cos4＞0.1161163()2，，【考题链接】（2014·西安高一检测)sin(－140°)cos740°的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不确定【解析】选C.－140°是第三象限角，所以sin(－140°)＜0，740°=2×360°+20°，所以740°是第一象限角，所以cos740°＞0，所以sin(－140°)cos740°＜0.【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误【典例】(2014·泰安高一检测)已知角α的终边经过点P(－3m,m)(m≠0)，则sinα=_________.错解错因剖析忽略了对参数m的取值符号的讨论，而得到错误结果1010【解析】由题意得：|OP|=当m＞0时，|OP|=则sinα=当m＜0时，|OP|=则sinα=答案：或223mm10m－，10m10m，m10.1010m10m10m－，m10.1010m－－10101010－【类题试解】已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，则cosα=________.【解析】由题意可得：|OP|=当a＞0时，|OP|=5a，则当a＜0时，|OP|=-5a，则答案：或223a4a5a.3a3cos.5a53a3cos.5a53535课堂总结1、任意角三角函数的定义：2、解题方法总结（1）已知交点P的坐标，直接用定义（2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义若已知角α终边与单位圆交于点P(u，v)，则：3、正弦、余弦函数值的正负规律正弦上正下负，余弦右正左负。vsinucos再见！感谢指导！