二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质一般式

二次函数的图象和性质xyo复习二次函数一般式的配方法：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式。复习抛物线的对称轴及顶点坐标：cbxaxy2(1)对称轴：(2)顶点坐标：直线abx2)44,2(2abacab(公式法)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是.抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上a＜0开口向下xy③c＜0＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：①c＞0＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴；②c=0＜＝＞图象过原点；xy2222yyx8x7yx9x17ymxkx-4k练习：指出下列二次函数与轴交点的位置：1.=2.=-23.=⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:对称轴是直线x=ab2①a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②b=0＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧oxy22yaxbxcabc2.yaxbxcabc练习：1.若抛物线的图象如图，说出，，的符号。若抛物线经过原点和第一二三象限，则，，的取值范围分别是。23.yaxbxcy=ax+bc若抛物线的图象如图所示，则一次函数的图象不经过。yoxyox图1图21x（4）与直线交点000yabcyabcyabcoxy0yabc0yabc0yabcX=11x与直线交点000yabcyabcyabcoxy0yabc0yabc0yabcX=-12yaxbxca0b0c0a+b+c0a-b+c0练习：二次函数的图象如图，用(,,=)填空:，，，，，yox-11-1例3、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？31y1..x131.,,abc试判断的符号oxy（5）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=时,y有最大(最小)值ab2abac442y..xy.xx能否说出它们的增减性呢？（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyoxyox①△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyoxyox①△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。2221.x1yx2x2(2)23(3)yx2x1yxx训练题：判断下列二次函数与轴交点情况：（）；2222yaxbxca02yaxbxcxaxbxc03yaxbxcac0x练习：填空（1）函数=++（）的函数值恒为正的条件为：，恒为负的条件为：。（）已知抛物线=++的图象在轴的下方，则方程++的解的情况为。（）二次函数=++中，，则抛物线与轴有交点。2yaxbxc抛物线的对称性2byaxbxcx2a抛物线是以直线=-为对称轴的轴对称图形，有以下性质：1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。xyO2.x如果抛物线交轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。12123.xxxxx2，若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为，则抛物线+的对称轴是直线21.yaxbxcxyx例已知二次函数，与的部分对应值如下，则其图像与轴的两个交点坐标分别为。x-11235y1530-1321.yaxbxcxyx2练已知二次函数，与的部分对应值如下，那么二次函数的对称轴为，当时，函数值为。X-3-20135y70-8-9-57212121221.yaxcxxxxxx=xxy2.25453.y2x4kx20x若二次函数，当取，（）时，函数值相等，那么+时，。若（，），（，）是抛物线上两点，则它的对称轴为。若二次函数（）与轴的一个交点坐标为（，），则它与轴的另一个交点坐标为。巩固训练1.如图，若a0，b0，c0，则二次函数的图象大致是()cbxaxy2xyoABCDxyoxyoxo2.若函数的顶点坐标是(1，-2)，则b=，c=。cbxxy223.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第象限。cbxaxy2acbxyxyo4.若抛物线位于x轴上方,求m的取值范围.2(1)23ymxmxm1110时，抛物线经过原点。当时，抛物线开口向下；当时，图象为抛物线；当时，图象为直线；当，已知____________________2)1(:2mmmmmxxmy6.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限cbxoyD7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②a+b+c＜0③a-b+c＞0；④a+b-c＞0;⑤b=2a正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c0；③4a+2b+c＞0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个xoyx=1B9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）xyoABxyoCxyoDxyo2221(0)yaxbxcab、二次函数的图象如图所示，下列结论①c0,②b0③4a+2b+c0,④(a+c)其中正确的是（填序号，并说明理由）yox1x=1222222()()x1a+b+c0x1a-b+c0()()00babcabcabcabcbb(a+c)时，时，即(a+c)(a+c)10.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.1MOBAyx111.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是.-227.yxm2x3m11m2163;(4)ABCOAOBCABS抛物线（）（）的图象如下：（）求的取值范围（）在（）的情况下，，求的坐标（）求求yoxBCA这节课你有哪些体会？1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析2yx2m1x2m1mx作业：1.已知抛物线（）（），求证：无论为何实数，抛物线与轴总有两个交点。2ym+6x2m1xm1xm2.已知抛物线（）（）的图象与轴总有两个交点，求的取值范围。23.y2x3xmx,11m22pABAB已知抛物线与轴交于两点，且线段的长为，（）求的值；（）若抛物线顶点为，求ABP的面积。24.ykx4kx2k31kxkx已知抛物线=2（+1）（）为何值时，抛物线与轴交于两点（一点或没有交点）；（2）为何值时，抛物线与轴的两个交点在原点两侧。25.yxm3xm1xmmxx已知抛物线（）（）试证：抛物线与轴总有两个交点（2）为何值时，两个交点间的距离为3（3）证明：无论为何值，函数与轴的交点不可能落在轴的正半轴。函数y=ax²+bx+c的图象和性质：顶点坐标：对称轴：开口与y轴交点：与x轴交点：向上向下a0a0增减性x-2abx-2abx-2abx-2ab最值当x=-时，2aby有最小值：4a4ac-b2当x=-时，2aby有最大值：4a4ac-b2直线x=-2ab（0，c）4a4ac-b2-2ab（，）2a-b±b2-4ac（，0）