2012学而思五年级上详解

学而思2012年秋季素质123班难题汇总第一讲循环小数与分数分数是一定可以化成小数的，小数不一定都可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。小数化分数的目的：是为了计算，主要是为了乘除的计算。尤其循环小数的乘除，小数不化成分数，几乎无法计算。（一）分数化小数①分数是一定可以化成小数的，分数可以化成如下3类小数：(1)有限小数(2)无限纯循环小数(3)无限混循环小数②分数化小数，化成哪一类？判断方法如下：先将分数化成最简分数，再看分母：A、分母只有因子2或5有限小数B、分母没有因子2和5无限纯循环小数C、分母有因子2和5，还有其他因子无限混循环小数③分数化小数的方法分数化小数的方法：除。相除后，要么得到有限小数，要么得到循环小数(找到循环节)。特殊的地方是：如果分数的分母可以表示成都是数字9，就可以转换成无限纯循环小数；如果分数的分母可以表示成“左边连续的数字9右边连续的数字0”，就可以转换成无限混循环小数。这2种情况，是有计算方法的。例如：13/99=0.1o3o，113/990=0.11o4o。（二）小数化分数有限小数、无限纯循环小数、无限混循环小数，可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。①有限小数化分数a、分母：1加几个0做分母(0的个数与小数的位数相同)b、分子：小数部分c、化为最简②无限纯循环小数化分数a、分母：全是9，9的个数与循环节的位数相同b、分子：循环节c、化为最简③无限混循环小数化分数a、分母：9和0，9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同b、分子：“第2个循环节以前的小数部分的数字组成的数”-“不循环部分的数字组成的数”c、化为最简11、【例4的补充】将99个分数21、31、41……1001化成小数，问：其中混循环小数有多少个？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】先要搞清楚如何判断：有限小数(分母只有2、5)、无限纯循环小数(分母无2、5)、无限混循环小数(分母有2、5和其他)。分母有2的：50个，分母有5的：20个，既有2又有5的：10个，所以分母有2或5的共有：50+20-10＝60(个)。这60个包括：有限小数、无限混循环小数。有限小数：只有2的：2、4、8、16、32、64共6个，只有5的：5、25共2个，既有2又有5的：10、20、40、50、80、100共6个，合计：14个。所以无限混循环小数有：60－14＝46(个)。【答案】46。12、【例5的第2问】将循环小数0.0o27o与0.1o79672o相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】先化成分数，相乘，分子分母约分，再化成小数。0.0o27o×0.1o79672o=99927×999999179672=371×999999179672=9999994856=0.0o04856o。004856六个数字循环，100÷6＝16…4，第100位是8，后面的5四舍五入进1，进位后第100位(近似值的最后一位)是9。【答案】9。13、【例6的补充】真分数7a化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1992，求a的值。【难度级别】★★★★☆【解题思路】7a化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的，而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的。71＝0.1o42857o，72＝0.2o85714o，73＝0.4o28571o，74＝0.5o71428o，75＝0.7o14285o，76＝0.8o57142o。六个数字的数字和：1+4+2+8+5+7＝27。1992÷27＝73…21，27－21＝6，最后一个不完整的周期中的数字和是21，说明后面缺6，观察以上6个数，76的后面的4+2＝6，所以a＝6。和为1992的最后一个数字是第6×73+4＝442(位)。【答案】6。14、【例6】已知真分数13a化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求a的值。【难度级别】★★★★☆【解题思路】方法一为本人提供，方法二是老师提供的。方法一，13a化成小数，循环节都是6位。131＝0.0o76923o，133＝0.2o30769o，134＝0.3o07692o，139＝0.6o92307o，1310＝0.7o69230o，1312＝0.9o23076o，132＝0.1o53846o，135＝0.3o84615o，136＝0.4o61538o，137＝0.5o38461o，138＝0.6o15384o，1311＝0.8o46153o。根据组成循环节的6个数字是否相同，找规律：1、3、4、9、10、12相同，2、5、6、7、8、11相同。数字和：0+7+6+9+2+3＝27；数字和：1+5+3+8+4+6＝27。1999÷27＝74…1，最后一个不完整的周期中的数字和是1，观察以上12个数，在一个周期内前几位的数字和为1的只有0.153846，即：132，a＝2。方法二，通过代数方法证明数字和为27。13a=11713117a=100177a=999100199977a=99999999977a=FBCDEA.0=999999ABCDEFABCDEF=77×999×ɑ，999|ABCDEF，999|(ABC+DEF)，ABC+DEF=999（等于999的2倍不可能）。由ABC+DEF=999得到：C+F=9，B+E=9，A+D=9，并且都没有进位，所以：A+B+C+D+E+F=9×3=27。1999÷27＝74…1，最后一个不完整的周期中的数字和是1。当ɑ=1时，A=0；当ɑ=2时，A=1；当ɑ＞2时，A＞1。真分数为132，ɑ=2。【答案】2。15、【例8】我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07o、77.007都是“特殊数”。如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？【难度级别】★★★★☆【解题思路】将7除以7变成1。若干个特殊数的和写成1，说明这样的特殊数都是小于1的。假设：a1+a2+…+an＝1，则(a1+a2+…+an)/7＝71＝0.1o42857o。除以7后，每个数位上要么是0要么是1，1o42857o中的8至少要有8个1相加才可以得到，所以1最少要写成8个特殊数的和。构造如下：十分位百分位千分位万分位十万分位百万分位(1)111111(2)11111(3)1111(4)1111(5)111(6)11(7)11(8)1求和142857a1＝0.7o77777o，a2＝0.0o77777o，a3＝0.0o70777o，a4＝0.0o70777o，a5＝0.0o00777o，a6＝0.0o00707o，a7＝0.0o00707o，a8＝0.0o00700o。【答案】8。16、【学案3】20092002和2871化成循环小数后第100位上的数字之和是_____。【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】用到：2009＝7×287，2002＝7×286，1＝0.9o。20092002＝287286，20092002+2871＝287286+2871＝1＝0.9o。每一个小数位都是数字9。证明一下1＝0.9o：A＝0.9o，10A＝9.9o，10A-A＝9.9o-0.9o，9A＝9，A＝1。【答案】9。17、【学案4】图中圆周上的10个数，按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数(10个数字恰好各用一次)，例如：1.89291o5929o。问：在所有这种数中最大的是几？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】最大肯定整数部分是9，9.2＞9.1，看2个9.2的。59292899119.291592918＜9.291892915，后者大。小数部分291892915是不变的了，5肯定是循环节的最后一位，5后面显然以9开始最大，92＞91，以92为循环节的开始，循环节为92915。最大数为：9.29189o2915o。【答案】9.29189o2915o。18、【作业6】给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】3是循环节的末位。100－10＝90。循环节有10个数字，7开始3结束，90÷10＝9…0，第100位为3；循环节有9个数字，0开始3结束，90÷9＝10…0，第100位为3；循环节有8个数字，8开始3结束，90÷8＝11…2，第100位为2；循环节有7个数字，2开始3结束，90÷7＝12…6，第100位为5；循环节有6个数字，1开始3结束，90÷6＝15…0，第100位为3；循环节有5个数字，6开始3结束，90÷5＝18…0，第100位为3；循环节有4个数字，9开始3结束，90÷4＝22…2，第100位为4；循环节有3个数字，4开始3结束，90÷3＝30…0，第100位为3；循环节有2个数字，5开始3结束，90÷2＝45…0，第100位为3。所以，这个循环小数是：0.7082o169453o。【答案】0.7082o169453o。19、【作业7】纯循环小数0.aobco写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数。【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】0.aobco＝999abc；999＝33×371。大家还记得约数个数定理吗？(3+1)×(1+1)＝8。999小于58的约数有5个：1、3、9、27、37；其他3个约数大于58（3×37、9×37、27×37）。分子分母约分后，剩余的也是约数，最简分数分母只能是37。因为如果分母是：1、3、9、27，则58减去分母后差比分母大（差为分子），与题目给的纯小数矛盾。分子为：58－37＝21。这个循环小数为：3721＝27372721＝999567＝765.0。【答案】0.5●67●。第二讲因数与倍数（一）（一）最大公因数①短除法：出现互质就停（有就停、不是都互质），乘一边；②分解质因数：你有我也有（公共质因子、取最低次）；③辗转相除法：不断“除数÷余数”，除到余0看除数。（二）最小公倍数①短除法：两两互质才停，乘半圈；②分解质因数：大家有才是真的有（所有质因子、全取最高次）。（三）分数的最大公因数、最小公倍数的求法分数的求法：子同母反。即：求最大公因数，分子的最大公因数÷分母的最小公倍数；求最小公倍数，分子的最小公倍数÷分母的最大公因数。（四）因数的找法因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身，如：60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10。21、【例7】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】提供两种方法。方法一，追及时间+最小公倍数。乙追上甲一次需要的时间：400÷(120-80)=10(分钟)；乙追上丙一次需要的时间：400÷(120-70)=8(分钟)；[10,8]=40，40为最小公倍数，说明乙40分钟可以同时追上甲和丙。看看追上的地点是否是出发点？如果不是再看80分钟。40×120＝4800＝12×400，是周长400米的整数倍，地点是在出发点。方法二，走一圈时间+分数的最小公倍数。每人走一圈需要的时间：80400＝5，120400＝310，70400＝740。[15,310,740]＝)7,3,1(]40,10,5[＝140＝40。【答案】40分钟。22、【例3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】设公因数为x，设三个自然数为ax、bx、cx，则有：ax+bx+cx=1111。(a+b+c)x=1111=11×101，x最大值为101。构造：a+b+c=11,a=2,b=3,c=6,三个自然数：202、303、606。【答案】101。23、【例1】如果你写出12的所