4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线

§7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线《解析几何》－Chapter4Contents一、直纹曲面的概念二、单叶双曲面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质平面、柱面、锥面有什么共同的特征呢?一、直纹曲面的概念柱面和锥面都是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面；定义由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruledsurface)，生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.椭圆抛物面不是直纹曲面.平面是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面；有没有更复杂的直纹曲面呢？有哪些二次曲面可能是直纹曲面呢?例(教材P153)求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程.1210xyz：:lxyz单叶旋转双曲面Back直纹曲面模型直纹曲面模型2222221,,0xyzabcabc单叶双曲面二、单叶双曲面是直纹曲面如果曲面S上存在一族直线，(2)直线族中的每条直线都在曲面S上.(1)曲面S上的每个点必定在这个族中的某一条直线上;分析:定理单叶双曲面2222221xyzabc，,,0abc是直纹曲面.它有两族直母线：221,01xzywuacbwuxzyuwacb（4.7-1）与221,01.xzytvacbtvxzyvtacb（4.7-2）推论1对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.BackOxzy三、双曲抛物面是直纹曲面22222,0xyzabab三、双曲抛物面是直纹曲面双曲抛物面悉尼歌剧院定理单叶双曲面2222221xyzabc，,,0abc是直纹曲面。它有两族直母线：221,01,xzywuacbwuxzyuwacb（4.7-1）与221,01,xzytvacbtvxzyvtacb（4.7-2）对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.定理双曲抛物面22222xyzab，,0ab是直纹曲面.它有两族直母线：2,,xyuabuRxyuzab（4.7-3）与2,,xyvabvRxyvzab.（4.7-4）对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质定理4.7.1单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.定理4.7.2单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.例题单叶双曲面22219416xyz的两族直母线方程为：例1求过单叶双曲面上的点的直母线的方程.22219416xyz6,2,81,3421342xzywuxzyuw与1,3421.342xzytvxzyvt分析:将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得w,u,t,v.例题例2试证明双曲抛物面上的两直母线直交时，其交点必在一双曲线上.22222xyzabab例3已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨迹.2a2