【(选修1-1)】双曲线与直线位置关系

椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）相离相切相交一.复习引入直线与双曲线位置关系：XYO分类：相离；相切；相交。XYO二.探究新知三.归纳总结根据交点个数判定XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点1.图象法:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.温馨提示：把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离2.代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图（2次系数等于0）（2次系数不等于0）（两个交点）（一个交点）（无交点）消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐进线平行12xx12xx例1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.4116922yx交点的一个直线XYO（1，1）。例2.已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1,求k为何值时,直线与双曲线只有一个公共点?22ykx13xy1解：223x(kx1)122(3k)x2kx2023k0,k3若－即此时直线与双曲线相交于一个公共点23k0若－2224k42(3k)4k240＝＝6,即k=此时直线与双曲线相切于一点k3,k6或时，直线与双曲线只有一个公共点0xyPAB663且kk当直线L与双曲线C有两个公共点时6k3k当或时,直线L与双曲线C只有一个公共点；6k6k当或或直线L与双曲线C无公共点。不存在时，k0xyPABk6k6K为何值时,有两个交点,没有交点?想一想例3.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)有两个公共点;(2)与右支交于两点.(1)解：将直线代入双曲线方程化简整理得（※）1kxy422yx052)1(22kxxk要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则（※）有两个不相等的实数根，应满足012k012525:kk且解得)25,1()25,1()1,25(k的取值范围22x-y=4要使直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，则应满足（2）解：将直线代入双曲线方程1kxy052)1(22kxxk化简整理422yx（※）251k解得04)(204)(0010)2)(2(0)2()2(001212121221212xxxxxxkxxxxk注:直线与双曲线的右支有两个交点,实际上给出了方程解的范围,涉及到二次方程的根的分布问题.解题时需要注意!12122225;11kxxxxkk由韦达定理得：变式应用:已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)只有一个公共点;(3)交于异支两点；k=±1，或k=±52-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；5252走向高考.3,3,.3,3,2,2,2,2ABCD曲线总有公共点，则b的取值范围是（）2ykxb221xy若不论K为何值，直线与BABABFyx131122。求的弦作倾斜角为的左焦点经过双曲线23xyl的方程为：设07262123222xxyxxy由4274234221221241xxxxkAB例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。典型例题:解：将y=ax+1代入3x2-y2=1(6,6),a又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.1212222a2xx,xx3a3a22222a(a+1)+a+1=03a3a例5.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。典型例题:解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．则直线AB的方程为y-8=k（x-1）22222y-8=kx-1由,得y-4x=4k-4x+2kk-8x+8-k-4=0112212,,,,,1AxyBxyxx设则是方程的两个不等实根.1222k-4x+2kk-8x+8-k-4=02222∴Δ=4k8-k-4k-48-k-4021,8,ABP弦的中点是2k8-k∵中点坐标公式与韦达定理,得-=13k-422由13得k=12x直线AB的方程为y-81=即直线AB的方程为x-2y+15=0例5.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。112222112222,,,,44,44AxyBxyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直线的斜率为112x直线AB的方程为y-8=即直线AB的方程为x-2y+15=01.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法)小结：变式：已知双曲线x2－y2/2＝1，试问过点A(1,1)，能否作直线l，使与双曲线交于P1、P2两点，且点A是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。1122解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有:ìïïïïïïíïïïïïïî22112222yx-=12yx-=12Þ121212122(x+x)(x-x)=(y+y)(y-y)，即方程为\1212y-y∴=2k=2L:y-1=2(x-1)x-x2ìïïïï揶íïïïïîV222yx-=1x-4x+3=002y-1=2(x-1)方程组无解，故满足条件的L不存在。【分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定的.利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件直线l与双曲线交于不同的两点，确定k的取值范围.高考真题(2008·天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.520xy8122222x1(0,0).(1)yCabab双曲线的方程为设222(54)844200.kxkmxkmxm得22952abba由题意，得2245ab解得22145ykxmxy联立因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，解析).0()2(kmkxyl的方程为设直线4554222kkm且即.15422yxC的方程为所以双曲线0)204)(45(4)8(222mkkm所以24,54kmk00ykxm25.54mk22514y()5454mkmMNxkkk线段的垂直平分线的方程从为而550.24kk或解得【回顾与反思】本题主要考查直线与直线，直线与双曲线的位置关系问题，考查学生的推理与运算能力，今后仍是高考考查的重点.),,(),,(),,(002211yxMNyxNyxM的中点设2210xxx所以),459,0(),0,459(22kmkkmyx轴的交点坐标分别为轴、此直线与281|459||459|2122kmkkm由提设可得,54||)45(2222kkkm所以).,45()25,0()0,25()45,(k所以