2.5二次函课件

第4讲二次函数【2013年高考会这样考】1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3.与一元二次方程，一元二次不等式综合应用.【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．1.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增在x∈－b2a，＋∞上单调递减奇偶性当时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形b＝02.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)其中顶点（h,k）(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1,x2是函数图像与X轴交点横坐标.考向一二次函数的图象【例1】►(2010·安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()．[审题视点]分类讨论a＞0，a＜0.解析若a＞0，则bc＞0，根据选项C、D，c＜0，此时只有b＜0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，选项D有可能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只能b＞0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，与选项A不符合；根据选项B，c＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－b2a＜0，与选项B不符合．综合知只能是选项D.答案D变式训练1分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．训练2已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象是() 解析:abc,a+b+c=0,∴a0,c0,∴y=ax2+bx+c的开口向上,且与y轴的交点(0,c)在负半轴上.D项正确.答案:D解析【训练3】已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是()．解析由函数f(x)的图象知：当x∈(－∞，1]时，f(x)为减函数，∴f′(x)≤0；当x∈[1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)≥0.结合选项知选C.答案C考向二二次函数解析式训练4已知f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(x-1)=1,当x∈[0,1]时,有f(x)=x2,则当x∈[1,2]时,f(x)=.解析:当x∈[1,2]时,x-1∈[0,1],∴f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2.答案:2x-x2解析训练5已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.解:∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1,∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·(x-3).即f(x)=x2-4x+3.二次函数解析式的确定,应视具体问题灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起解析训练6若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，则a≠0，b＝－2，2a2＝4.因此f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋4二次函数的值域与最值1.已知函数y=x2+2x,当x∈[0,1]时,函数的最小值为… ()A.3B.0C.-1D.-3解析:函数y=x2+2x开口向上,且对称轴为x=-1,则x∈[0,1]时,函数为增函数,从而x=0时,y=x2+2x取最小值0.答案:B考点三解析2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.[0,2]C.[1,2]D.(-∞,2]解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴函数图象的对称轴为x0=1,最小值为2,要使最大值为3,则1≤m≤2.答案:C解析解析3.若二次函数2()2fxaxxc的值域是[0,)，则a+c的最小值为解：由已知440,0,1,0422.1a+c2.acaaccaacacac当且仅当时取等号的最小值为4.某地区有100万从事传统农业的农民,人均年收入3000元.为了减小城乡收入差距,增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业.对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地农民进入加工企业工作.据估计,如果有x(x0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%,而进入企业的农民的人均年收入为3000a元(a1).(1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应如何引导农民进入企业(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.解:由题意得,建立企业后,从事传统农业的农民人数为100-x(万人),相应的人均年收入为3000(1+2x%)元.解析(1)由已知得(100-x)·3000(1+2x%)≥100×3000,即x2-50x≤0,解得0≤x≤50.又∵x0,∴x∈(0,50].(2)设100万农民的人均年收入为y元,则=-0.6x2+30(a+1)x+3000.对称轴为x=25(a+1).∵a1,∴25(a+1)50,函数在(0,50]上是增函数,∴当x=50时,ymax=-0.6×502+30(a+1)×50+3000=1500a+3000.∴当x=50时,100万农民的人均收入最大.【例4】►函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．解(1)f(x)＝(x－1)2＋1.当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1.当t1t＋1，即0t1时，g(t)＝f(1)＝1当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1综上可知g(t)＝t2＋1≤0，t≤0，1，0t1，t2－2t＋2，t≥1.(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.(1)应用题的背景丰富,题目灵活多变,但应用题的解答却是一个程序化的过程,审题—建模—运算—还原.(2)二次函数求最值问题,首先采用配方法化为y=a(x-m)2+n的形式,得顶点(m,n)和对称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解,常见有三种类型:①顶点固定,区间也固定;②顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外;③顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调情况,从而确定函数的最值.1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于 ()A.- B.- C.c 解析:由已知f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于x=- 对称,∴x1+x2=- ,∴f(x1+x2)=f(- )=a· -b· +c=c.答案:C2baba2bababa22baba解析二次函数的综合运用考点四2.若不等式ax2+x+1≥0恒成立,则a的取值范围是.解析:当a=0时,不等式化为x+1≥0,显然a=0时,不符合题意.解析变式训练一6变式训练二3.(密码改编)已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是.解析:令f(x)=x2+2mx-m+12,由题意得解析4.已知奇函数f(x)= .(1)求实数m的值,并画出y=f(x)的图象;(2)若f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求a的取值范围.解:(1)当x0时,-x0,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(-x2-2x)=x2+2x,∴m=2.y=f(x)的图象如图所示.解析 (2)由图可知f(x)在[-1,1]上单调递增,∴要使f(x)在[-1,a-2]上递增,则 ,∴1a≤3.即所求a的范围是(1,3].二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化.一般规律:(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 【真题·模拟】(2011·广东高考)(12分)设a0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.命题探究:本题考查了二次函数、不等式、导数等内容以及考生运用化归、分类讨论等思想的能力.解析解析可得(9-5a)2-4a·4a≤0,即a2-10a+9≤0,即(a-1)(a-9)≤0.得a∈[1,9]∴a的取值范围是[1,9].