二次型和对称矩阵

第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题9.1二次型和对称矩阵一.内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二.教学目的1.掌握二次型及其矩阵的定义以及矩阵的合同2.理解关于二次型的线性变换3.了解二次型的标准形三.重点难点:合同、线性变换、二次型的标准形引言:在解析几何中,我们学过了二次曲线和二次曲面的相关理论.例如以原点为中心的二次曲线一般方程为222axbxycyd为了更方便地研究二次曲线,需要将二次曲线化为标准方程,因而要通过坐标变换来实现把(1)代入一般方程得标准方程,是一个不错的方法,但是,如果类似这样的方程不是平面上的,甚至是在任意欧氏空间中的,我们如何去化它为标准形呢?22axcydcossinsincosxxyyxy(1)9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式（1）nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxq1,13113211222222211121222),,,(叫做F上的一个n元二次型.F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数所以n元二次型也叫n个变量的二次型..:FFqn在（1）中令aij=aji(1≤i,j≤n),因为所以（1）式可以写成以下形式：,ijjixxxx（2）ninjjiijjiijnaaxxaxxxq1121,),,,(是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型的矩阵.因为,所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,（2）式可以写成)(ijaA令),,,(21nxxxqjiijaa（3）nnnxxxAxxxxxxq212121),,,(),,,(二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩.9.1.2线性变换如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：（4）),1(,,,2,1,1njiFpniypxijnijiji那么就得到一个关于的二次型nyyy,,,21),,,(21nyyyq（4）式称为变量的线性变换，令是（4）的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成)(ijpP（5）nnyyyPxxx2121将（5）代入（3）就得到（6）nnnyyyAPPyyyyyyq212121),,,(),,,(矩阵P称为线性变换（4）的矩阵.如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换.因为A是对称矩阵，所以也是对称矩阵.APPAPPPAPAPP.)(推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变.注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立.(见P358反例)定理9.1.1设是数域F上的一个以A为矩阵的n元二次型.对它的变量施行一次以P为矩ninjjiijxxa11APP阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是.9.1.3矩阵的合同定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵.如果存在F上的一个非异矩阵P，使得那么称B与A合同.BAPP矩阵的合同关系的性质：③传递性：如果，C与B合同，B与A合同那么C与A合同.①自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为I′AI=ABAPPABPPBPP1111)()(②对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为由可以得出事实上，由可得Note:1)合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.CBQQBAPP和CBQQAPQPQPQAPQ)()(是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将.qq和设qq变为APPBqq变为F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.2）定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同.Note:等价的二次型具有相同的秩.定理9.1.4是数域F上的一个n阶对称矩阵.总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得)(ijaA令ncccAPP0021即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同.证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理.回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵容易看出，)()(,kTkDPijiji和)()();()(;kTkTkDkDPPijijiijiji)(ijaA设OA)(ijaA设OA现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立.设n1，并且假设对于n–1阶对称矩阵来说，定理成立.是一个n阶矩阵.如果A=O，这时A本身就是对角形式.设,我们分两种情形来考虑.(a)设A的主对角线上元素不全为零，例如.如果i≠1，那么交换A的第1列与第i列，再交换第1行与第i行，就可以把换到左上角.这样就相当于初等矩阵,再用.于是的左上角的元素0iiaiiaAPi右乘1APPii左乘11iiAPP11011a111aaj不等于零.因此，我们不妨设，用乘j行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零.A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第111aaj这相当于用右乘A，用)(1111aaTjj)()(11111111aaTaaTjjjj左乘A.这样，总可以选取初等矩阵,使得sEEE,,,2100001112112AaEEAEEEEss这里是一个n–1阶的对称矩阵.1A由归纳法假设，存在n–1阶可逆矩阵使得1QncccQAQ0032111000011QQQEEEPs21取那么nsscccQAQaQAaQQEEAEEEEQAPP000000000021111111112112这里。111ac(b)如果.由于A≠O，所以一定有某一个元素.把A的第j列加到第i列,再把第j行加到第i行,这相当于初等矩阵右乘A.再用左乘A.而经过这样的变换后所得到的矩阵第i行第j列的元素是.于是由情形（b）就归结到情形（a）.niaii,,2,1,0jiaij,0)1(jiT)1()1(jiijTT02ijaNote:在定理9.1.4的主对角形矩阵中，主对角线上的元素的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r0，那么由定理的证明过程可以知APPnccc,,,21ic0,0,,,2121nrrrcccccc而给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.4的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，I就化为P.APP例1设04034126006303000A我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列初等变换，将A变成，使得是一个对角形矩阵.同时对单位矩阵，施行同样的初等变换而得出P.APPAPP4I交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换的第一列和第二列.这时A和分别化为：4I4I1000010000010010,0430412063000060311PA把的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同时把的第一列乘以2加到第三列.分别得到：1A1P1000010002010010,043040003000000322PA把的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同时把和第四列加到第二列，得2A2P1010010002010010,043040403460000333PA以2/3和－1/2乘的第二列依次回到第三列和第四列上,再以2/3和－1/2乘第二行依次加到第三行和第四行上，同时对的列施行同样的初等变换.得3A3P21322132423384100100020110,20020000600003PA最后，以－3/4乘的第三列加到第四列上,再以－3/4乘第三行加到第四行上，并且对的列施行同样的初等变换，我们得到4A4p010100201110,000000000600003434323325385PA取.于是5PP00000380000600003APP9.1.4二次型的标准形定理9.1.5数域F上每一个n元二次型ninjjiijxxa11可以通过变量的非奇异线性变换化为：Fcccycycycnnnn,,,,21222211例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是43324123224218126123),,(xxxxxxxxxxxq通过变量的非奇异线性变换4321432103210431002320113210yyyyxxxx化为.3863232221yyy练习1写出下列二次型的矩阵321321321987654321,,xxxxxxxxxf练习2写出对应下列方阵的二次型432321211例2用合同变换法化二次型323121321622),,(xxxxxxxxxf成标准形.3213211001-1021-1yyyxxx练习3已知二次型31212221321222,,xxxxxxxxxf试对它作如下非奇异线性变换练习4写出二次型的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等份的二次型,使后者只含变量的平方.jininjxxji11