61库仑定律

第6章静电场§6.1库仑定律电场强度一、库仑定律电荷：物体所具有的能吸引小物体的性质，说它有了电荷。自然界中只存在两种电荷；同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷叫正电荷。负电荷：用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷叫负电荷。带电体：带电的物体电量q：物体所带电荷数量的多少。电荷的“量子性”：任何带电体的电荷都只能是某一基本单位的整数倍。基本单位就是一个电子所带的电荷，叫电子电荷。e=1.60217733(49)×10-19Cq=ne电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。***说明***○1量子化、○2基本单位C、○3粒子和反粒子带等量异号电荷、○4相对论性不变量点电荷：带电体本身的几何线度比带电体之间的距离小得多。库仑定律：1）两个点电荷间的静电力大小相等而方向相反，并且沿着他们的联线；同号电荷相斥，异号电荷相吸。2）静电力的大小与各自的电量q1及q2成正比，与距离r的平方成反比，比例系数K由实验测出K≈9×109牛顿•米2/库仑2041kε0≈8.85×10-12库仑2/牛顿•米2库仑定律矢量形式rrqqFˆ412210说明:1)电荷为可正可负的代数量，矢量形式同时反映了静电力的大小及方向。2)定律成立的条件：真空中，点电荷，静止。3）库仑力是重要的作用力，属强力；空间中有两个以上的点电荷时，作用于每一电荷上的总静电力等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力矢量和。例题1经典氢原子模型中质子与电子之间的库仑力和万有引力，二、电场和电场强度电场：电荷周围整个空间存在的一种特殊物质电场力：电场对处于其中的任何其它电荷的作用力。这是电场的基本性质。静电场：相对于观察者静止的电荷所激发的电场。1、试探电荷：1）它的几何线度充分小，可以看成点电荷，以便确定空间中各点的电场性质；2）它的电量要足够小，使得它的置入不至于引起原有电荷的重新分布。点电荷Q的静电场：在某一场点（电场中所要研究的点）放一静止的试探电荷q，由库仑定律，q所受的电场力rrqqFˆ412210同一场点，试探电荷的电量大小不同，所有电场力的大小也不同，但力的方向不变。同一场点，电场力F与试探电荷q的比值F/q是一个大小和方向都不变的矢量，与试探电荷无关，反映电场本身的性质。2、电场强度：qFE说明：1)其大小等于单位电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向相同。2）电场是一个矢量场，矢量场是空间坐标的矢量函数，叫矢量点函数。3）一般：空间中不同点的场强，大小方向都不同。4）匀强电场（均匀电场），空间各点的场强大小方向都相同。5）电场强度的国际单位：牛顿/库仑（或伏特/米）3、电场强度的迭加原理电场由n个点电荷（点电荷组）激发时，空间某点的总场强等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的强度的矢量和。三、电场强度的计算点电荷Q激发的场强rrQEˆ4120讨论：1）Q〉0，E沿r方向，Q〈0，E沿-r方向。2）Q一定时，E的大小只与r有关，以Q为中心的球面上，场强的大小相等，球对称。3）E的大小随r的增大按平方反比率减小，r→∞，E→0，点电荷组激发的场强iiiirrQEEˆ4120电荷连续分布的带电体激发的场强1）体分布：电荷连续分布于某一体积中电荷体密度ρ：单位体积内的电荷。在带电体中某点周围取一小体元△τ，设△τ内电量为△qq0lim为该点的电荷体密度，ρ为标量点函数。将带电区域分为许多小体元dτ，每个dτ看作电量为ρdτ的点电荷，它在场点p激发的元场强为rrdEdˆ420据迭加原理，整个带电区域在p点激发的总场强rrdEdEˆ4120（积分遍及整个带电区域）2）面分布：电荷连续分布于某一薄层内（面上）电荷面密度σ：单位面积内的电荷sqs0lim电荷元σdS激发的场强rrdSEdˆ420整个带电曲面激发的场强rrdSEdEˆ4120（积分遍及整个带电曲面）3）线分布：电荷连续分布于某一曲线上电荷线密度η：单位长度内的电荷lql0lim电荷元ηdS激发的场强rrdlEdˆ420整条带电曲线激发的场强rrdlEdEˆ4120（积分遍及整条带电曲线）解题方法：①建立坐标系,将带电体分割成为许多小电荷元dq,写出dE,图②分析dE的方向,将dE沿坐标轴分解,化矢量积分为标量积分,③对各坐标轴分量积分。④给出场强分布表达式。例题1：电偶极子的场强计算——熟悉电偶极子定义和性质例题2：有限长直均匀带电细直棒——熟悉任意带电体的计算步骤例题3：均匀带电圆环轴线上任一点处的场强——了解对称性的重要性§6.2高斯定理一、电场线1.定义：形象描述空间电场分布状况；为形象描述电场在空间的分布情况，按照下面的规定所画的曲线。2.画法与常见静电场线示意图；坚持原则：（1）方向、（2）疏密程度；曲线上每点的切线方向与该点的电场强度的方向一直；在与电场强度垂直的单位面积上，穿过曲线的条数与该处电场强度的大小成正比，电场线的疏密程度反映电场的强弱。3.静电场线特点：存在起点和终点、非闭合、不相交。性质1电场线发自正电荷（或无限远），终于负电荷（或无限远），在无电荷处不中断。性质2电场线不构成闭合曲线。性质3任两条电场线不相交。二、电通量1.定义：穿过曲面电场线条数——注意前提条件电场线疏密程度规定与场强方向垂直的单位面积上电场线数目与该处场强大小比例系数为12.电通量表示：SeSdE推导：E与平面垂直E与平面不垂直场强方向与平面任意夹角任意场强方向与闭合曲面电通量电场中面元dS的电通量dФ=E•dS有限曲面的电通量SdE一闭合曲面的电通量SdE3．说明：1）E和dS都是矢量，电通量是标量，电通量不是点函数。2）电通量是代数量，其正负取决于面元法向的选取。对闭合面，约定外法向为闭合面的法线方向(正方向)。三、高斯定理1.内容：通过任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0而与该曲面外的电荷无关：内SiSqSdE012.证明：单个点电荷位于球面球心单个点电荷被任意闭合曲面包围多个点电荷被任意形状闭合曲面包围多个点电荷位于任意形状闭合曲面外多个点电荷局部位于闭合曲面内部、其余在曲面外任意带电体被任意闭合曲面包围*.点电荷1)以点电荷为中心的球面的电通量球面上任一面元dS的电通量dSrqSdrrqSdEd20204ˆ4整个球面的电通量002020444qdqrdSqdSrqd2）包围点电荷的任意闭合面的电通量在闭合面S上，任取一面元dS，dS的电通量SdrrqSdEdˆ420r是dS与q的距离，设dS的外法线单位矢与r夹角为θ,cosˆdSSdr为dS在球面上的投影,则0020204cos4cos4qdqrdSqdSrqd3）不包围点电荷的任意闭合面的电通量2020ˆ4ˆ4rSdrqSdrrqSdE**.点电荷组设空间存在n个点电荷nkkqqqqq,,,,,,121。闭合面S内包围k个点电荷，不包围n-k个点电荷，根据场强迭加原理，空间某点的总场强nkiikiiniiEEEE111，通过闭合面S的电通量为nkikinkiikiiniiSdESdESdEESdESdE11111)()(由前面的结果可知kiiikikiiqqSdE101011)1(01nkiiSdE于是，有内q11010kiqSdE***．电荷连续分布的带电体可将带电体分割为无限多个电荷元，各电荷元可视为点电荷。结论：高斯定理电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以ε0内q11010kiqSdE3.关于高斯定理说明：式中场强、电荷量物理意义，微分形式说明：1）q内是闭合面内电荷的代数和，只有面内的电荷对通量有贡献，若q内=0，或面内没有电荷，或面内正负电荷等量。2）面上各点的场强是空间中所有的电荷激发的场强，闭合面外的电荷对通量没有贡献，不是说对面上的各点的场强没有贡献。3）高斯定理的意义，静电场是有源场，源就是电荷。四、高斯定理解题计算步骤及例题当电荷分布已知时，由库仑定律和迭加原理可求得空间各点的场强，但计算往往比较复杂。当电荷分布具有某种对称性时，能够直接运用高斯定理求出场强，使计算大为简化。（但并不是说高斯定理只适用于对称的电荷或电场）判断对称性做出相应高斯面表示出电通量根据高斯定理列出方程求出任一点处的场强指出场强的矢量方向例题1.无限长均匀带电直导线的场强：解：作同轴闭合圆柱面为高斯面高斯定理列方程为L0dl1SSdE可求得场强为rrrE02例题2.均匀带电球体产生的场强：解：所作高斯面为同心球面，列高斯方程为0QSSdE（r〉R）33034341SRrQdES（r〈R）当r〉R时rrrQE204当r〈R时rRQE304；例题3.无限大均匀带电平面的电场强度解：所作高斯面为上下底面与该平面平行的对称分布的圆柱面：可求得场强为E=σ/2ε0（匀强电场）6.3电势及其与电场强度的关系一、静电场的环路定理：1.内容：静电场场强沿任意闭合环路积分恒为零。LldE02.证明分析：要证结论乘试探电荷电量q0LldF0证明静电力是保守力，静电场是保守场证明沿任意路径任意试探电荷在静电场中运动所做的功至于该电荷的始末位置有关，和路径无关。3.证明过程：分三步：○1.单个点电荷产生的电场是保守场；○2多个点电荷产生的电场是保守场；○3任意带电体产生的电场是保守场1）点电荷的电场由库仑定律rrQqFˆ4120电场力把点电荷q移动元位移ld所作的元功204cosrdrQqFdrFdlldFdA电场力把点电荷q从P1移到P2所作的总功)11(442102021rrQqrdrQqdAArr点电荷Q的场中，电场力作功只取决于运动电荷的起始位置而与路径无关。2）电荷组的电场nEEEE21ldEqldEqldEqldEqldFAn21上面已证明点电荷电场中电场力作功与路径无关,故各项之和也与路径无关.结论：静电场力作功与路径无关。当试探电荷q在任意静电场中运动时，电场力所作的功只取决于试探电荷电量的大小及其运动的始末位置，与路径无关。静电场是保守场。设单位正电荷在静电场中沿某一闭合曲线L移动一周，电场力作功为LldE.在曲线上任取两点A和B将L分成两部分L1及L20BABAABBALldEldEldEldEldE结论：静电场强沿任一闭合曲线的环路积分为零。高斯定理和环路定理是由库仑定律及迭加原理推出的静电场的基本定理。例：用环路定理证明电场线的性质2---电场线不构成闭合曲线.解：设一电场线构成闭合曲线,因电场线上每点的切线方向与场强方向相同,0EdlldE故0LldE，与环路定理矛盾。二、电势能、电势差和电势1.电势能——电荷移动过程中电场力所作的功是该电荷电势能的改变量2.电势差：定义P、Q两点电势差为（WP-WQ）/q03.电势：PppldEVVV——物理意义：单位正电荷从该点经任意路径移至无穷远处时电场力所作的功§6.4静电场中的导