二、恒定电场

第二章恒定电场基本内容：§2-1导电媒质中的电流§2-2电源电动势与局外场强§2-3恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件§2-4导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟§2-5电导和部分电导基本要求：理解有关恒定电场的有关基本概念，掌握基本方程和分界面上的衔接条件，学会静电比拟方法，掌握接地电阻的求解方法。§2-1导电媒质中的电流电流由定向流动的电荷形成，通常用I表示，定义为当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况引入电流密度来描述电流的分布情况电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度J面上－电流面密度Js线上－线电流I0limtqdqItdt电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量J一、电流密度和元电流1.体电流密度电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流体电流密度定义：设单位体积内有N个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q，且都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在dt时间内经dS流出柱体，可以得到dt时间内通过dS的电荷量为dQNqvdtdSvdSdtJdSdtvPdSvdt如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。JjdQdIJedtdS物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电量dSJdtdQdIdS的电流强度为：通过vJ关于体电流密度的说明Jv式中：为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度v通过截面积S的电流SSIJdSJndS反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场一般是时间t的函数，即J=J(r,t)。恒定电流是特殊情况如有N种带电粒子，电荷密度分别为i，平均速度为vi，则1NiiiJv0Jvvv=0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为0，但因正电荷质量相对于电子大很多，因此近似不动，有面电流密度定义：当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量Js来表示。sJ2.面电流密度hJsnlS如图，设电流集中在厚度为h的薄层内流动，薄层的横截面S，n为表示截面方向的单位矢量。显然穿过截面的电流为0limsSlIJSJnhlJhnlnlIdIJldlJ关于面电流密度的说明Js是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布Js的方向为空间中电流流动的方向Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流只有当电流体密度J趋于无穷，理想面电流密度Js才不为零，即若表面上电荷密度为，且电荷沿某方向以速度运动，则可推得此时面电流密度为：svssJv0lim0shJhJJ电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电流元：长度为无限小的线电流元。Idl3.线电流和电流元vI电流元段：当元电荷dq以速度v运动形成vdq元电流段。体分布时：面分布时：线分布时：JdVdVv)(dSJKdSSIdl二、欧姆定律dSJEdl高低若导电媒质中存在外加电场,该电场将在导电媒质中激励起电流EJ由欧姆定律：UIREdlJdSdldS()JsElslJE欧姆定律微分形式设导电媒质的导电率为，在其中选取一体积元,方向与外加电场方向一致，如图所示。dldSdSJE在理想导体()内，恒定电场为0恒定电场可以存在于非理想导体内在导电媒质内，恒定电场和的方向相同EJ关于恒定电场欧姆定律的讨论：三、焦耳定律dSJEdl高低电场做功功率为：2PpEJEdV电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为：在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷量V，运动速度v，则电场力在时间t内所做的功为ΔW=Fs=ρΔVEvΔt=EρvΔVΔt=EJΔVΔtWdPtEJΔV§2-2电源电动势与局外场强导体中电流通过，产生热损耗，要维持恒定电流需电源。一、电源电动势与局外场强1.电源:将其它形式能量转化为电能的装置。2.局外场强：3.电动势：说明：将单位正电荷由电源负极移到正极局外力作的功。在电源内：电源外部：只有库仑电场局外力qfEeeledlE)EE(Je开的力）（电源内将正负电荷分1.恒定电场：电荷分布不随时间变化的电场。2.研究内容：1）导电媒质外：按静电场处理。2）导电媒质内：场源J与场量E间的关系。二、恒定电场§2-3恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件一、电流的连续性方程电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。取电流流动空间中的任意一个体积V，设在dt时间内，V内流出S的电荷量为dq,由电荷守恒定律：dt时间内，V内电荷改变量为-dq。由电流强度定义：SVI()SdqIdtJrdsdt()sdqJrdsdt()VdrdVdt()VVJdVdVtJt0Jt()sJrds()VdrdVdt即电荷守恒定律积分形式在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得电荷守恒定律微分形式2、当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经其流出，电流连续性方程可写成0VdVt对电流连续性方程的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。1、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：00Jtt则恒定电流的电流连续性方程为0J0sJds4、对于面电流，电流连续性方程为：意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流——基尔霍夫电流方程()sSlSJndldSt时变面电流()0SlJndl恒定面电流恒定电场基本方程二、电场强度的环路线积分1.经过电源时：2.不经过电源时：三、恒定电场基本方程积分形式：微分形式：本征关系：dlEdlEdl)EE(elleldl)EE(el0dlEllSdlEdSJ0000EJEJ四、分界面上的衔接条件用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的代换为，则两者基本方程形式完全相同。12nnJJ12EnEn电位边界条件的边界条件J的边界条件E12ttEE2121nn120DJSdSJ0021nJJˆ)(ldlE0212En1E212J1J12111222tantantantan210折射定律：讨论：1.在理想导体表面上，J和E都垂直于边界面,是等位面。2.γ2＝03.γ1≈γ2tEEJ1120nEE222001212nnnnJJDD五、边值问题：•由•又•例：求长直金属槽内导电媒质中的电位分布。0EEEJ)(02E0000()()[sin()cos()][()()]nnnnnnnnAxBCyDAkxBkxCshkyDchkyn=1＋byshaxabshUyxsin),(0代入边界条件得：xyabnaxUsin0§2-4导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟静电场和恒定电场性质比较：场性质相同，均为保守场场均不随时间改变均不能存在于理想导体内部源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内相同点：不同点：静电比拟：恒定电场与静电场的方程与场量关系的数学表达形式相同，求解方法一致，可以用一种场的方法解另外的场的问题。恒定电场与静电场对比场量静电场(=0)恒定电场(电源外)场量EEDJεγφQICGEE0EE002020J0DEJEDdSJIdSDqUQCUIG静电比拟的应用1.两相同导电体系，若满足这时J线与D线相同，φ的等位面相同。2.镜像法若γ1是土壤，γ2是空气，则I’=I,I’’=03.恒定电场的求解可由静电场得来，相应场量替换；静电场的求解可以通过恒定电场模拟来实现（导电纸、电解槽），如高压套管、电缆头。2121γ1γ2I′′I′γ1γ2Iγ1γ2III2121II2122§2-5电导和部分电导恒定电场的求解包括电导（或绝缘电阻）的计算，对多电极系统需引入部分电导的概念。一、电导1.定义：导电媒质的电导是指流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。电导的导数是电阻UIG即：IUR2.电导的求解1）.根据定义：设I→J→E→U→G2）.根据场方程：3）.静电比拟：dlEdSEdlEdSJUIGdlEdSEdlEdSDUQCCG02电导的求解示例•求同轴电缆的绝缘电阻解法1：设漏电流为I，根据对称性R1R2lIElIJ22得由12ln2221RRlIdlIdlEURRlRRRRRlUIG2lnln21212解法2：根据静电比拟，先求电容。lRRRRRlGRRlC2lnln2ln2121212得：求扇形导电片的电导•解：取圆柱坐标，R1R2θφ=Uφ=0φhρ无关、与zU边界条件方程022200121CC积分得：0002C得：由,UCU1得：由,UeeUE11eUEJ12ln)(21RRhUdhUdhUdSJIRRee12lnRRhUIG二、部分电导•对于有三个及以上良导体组成的多电极系统，任意两个电极间的电流不仅受到它们之间电压的影响，还要受其它电极影响，这里需引入部分电导的概念。•对于有（n+1)个电极的系统。I0+I1+I2+…+In=0•依照部分电容的求解方法求得部分电导。0022110022111111121210101nnknnknnnnnknknkkkkkkknnkkUGUGUGUGIUGUGUGUGIUGUGUGUGI三、接地电阻•1.接地：工程上将电气设备的一部分与大地联接的方式。•方式：保护、工作。•2.接地装置：实现设备与大地联接的导体（接地体）和导线（接地线）的总称。•3.接地电阻：指两接地装置之间的电阻或接地装置与远处（无限远）之间的电阻。•通常接地电阻包括：导线电阻、接地体电阻、接触电阻、大地电阻。•4.接地电阻的计算：•1）深埋地下：•2）浅埋地下：•这时需考虑场面的影响，用镜像法求。•如半埋地下时：aaR21412aGaC44电导电容aR41R00RIR00R四、跨步电压接地体附近地面的电位分布设流经大地的电流为I，在x处222121xExJaIdxxaa221222211221lIblblIdxxUlblBA02UIbl在距离球心l处A、B（与A间隔b)两点的电压（跨步电压）为：则：危险半径axφAB