从向量积的角度理解行列式

1行列式是线性代数中的一个难点，特别是其看上去似乎有点古怪的定义和计算式。本文从向量积的角度，让你换个思路理解行列式的计算式和意义。根据向量积的定义，两个向量→a、→b的向量积→a×→b为一个新向量→c,→c的大小（模）|→c|=|→a||→b|sin，其中为两个向量的夹角，→c的方向为按照右手法则确定的既垂直于→a，又垂直于→b的方向。对于两个二维向量的外积，其向量积的大小可看做是平面上→a、→b为边的平行四边形面积。以坐标形式表示，设有→a=ax→i+ay→j，→b=bx→i+by→j两个二维向量（→i、→j表示x、y轴方向的单位向量，即10、01）。向量积的计算符合分配率法则，所以可以按照展开式将其展开：→c=→a×→b=(ax→i+ay→j)×(bx→i+by→j)=axbx(→i×→i)+axby(→i×→j)+aybx(→j×→i)+ayby(→j×→j)由向量积的定义可知，→i×→i=0，→j×→j=0。设→i×→j=→k（→k显然是一个垂直于→i、→j的单位向量），则有→j×→i=-→k（与→k方向相反的单位向量）。于是：→c=→a×→b=axby(→i×→j)+aybx(→j×→i)=（axby-aybx）→k其中（axby-aybx）正是对应的二阶行列式。如果仔细推敲一下两个二维向量的向量积，感觉是比较奇怪的。用10、01分别表示→i、→j，对于→i×→j=→k，那么→k如何表示呢？我想应该是001。也就是说，两个二维向量的向量积是一个三维向量！从这个角度来看，n维向量的向量积应该在n+1维的空间中对待。还有，按照向量积的|→c|=|→a||→b|sin的定义，可得向量积的大小（模）是两2个向量为边的平行四边形的面积。不加上绝对值符号的二阶行列式表达式可看做是这个平行四边形的有向面积，其值的正负反应向量→c的方向与→k相同或相反。再来看三个三维向量的叉乘展开式。设有→a=ax→i+ay→j+az→k，→b=bx→i+by→j+bz→k，→c=cx→i+cy→j+cz→k三个三维向量。（→i、→j、→k表示x、y、z轴方向的单位向量，即100、010、001）→a×→b×→c=(ax→i+ay→j+az→k)×(bx→i+by→j+bz→k)×(cx→i+cy→j+cz→k)=axbxcx(→i×→i×→i)+axbxcy(→i×→i×→j)+axbxcz(→i×→i×→k)+axbycx(→i×→j×→i)+axbycy(→i×→j×→j)+axbycz(→i×→j×→k)+axbzcx(→i×→k×→i)+axbzcy(→i×→k×→j)+axbzcz(→i×→k×→k)+aybxcx(→j×→i×→i)+aybxcy(→j×→i×→j)+aybxcz(→j×→i×→k)+aybycx(→j×→j×→i)+aybycy(→j×→j×→j)+aybycz(→j×→j×→k)+aybzcx(→j×→k×→i)+aybzcy(→j×→k×→j)+aybzcz(→j×→k×→k)+azbxcx(→k×→i×→i)+azbxcy(→k×→i×→j)+azbxcz(→k×→i×→k)+azbycx(→k×→j×→i)+azbycy(→k×→j×→j)+azbycz(→k×→j×→k)+azbzcx(→k×→k×→i)+azbzcy(→k×→k×→j)+azbzcz(→k×→k×→k)3分析一下上面的式子：三个含三分项的式子相乘，容易知道，可以展开为33=27个分项。由于→i×→i=→j×→j=→k×→k=0，因此上式中含有同样两个单位向量的分项均为0，只剩下含有三个均为不同单位向量相乘的分项。由简单地排列组合（相当于→i、→j、→k的排列组合）可以知道，其中有3！=6个不为零的分项。将等于0的分项去除，有上式=axbycz(→i×→j×→k)+axbzcy(→i×→k×→j)+aybxcz(→j×→i×→k)+aybzcx(→j×→k×→i)+azbxcy(→k×→i×→j)+azbycx(→k×→j×→i)需要注意的是，不能认为→i×→j=→k，从而得出→i×→j×→k=→k×→k=0的结论。类比两个二维向量的向量积的结果，应该把（→i×→j×→k）视为四维空间中与→i、→j、→k均垂直的一个新的单位向量→l，即100×010×001=0001。设→l=→i×→j×→k，则有→j×→k×→i=→k×→i×→j=→l，→i×→k×→j=→k×→j×→i=→j×→i×→k=-→l由此得出：→a×→b×→c=（axbycz+aybzcx+azbxcy-axbzcy-aybxcz-azbycx）→l而（axbycz+aybzcx+azbxcy-axbzcy-aybxcz-azbycx）正是三阶行列式的表达式。另外，从三个向量乘积的分开步骤来看，→a×→b得到的是一个新向量→p，这个向量→p的方向垂直于→a、→b所在平面，大小为→a、→b为边的平行四边形面积。→p×→c的大小则等于|→p||→c|sin，其中为→p、→c两个向量4的夹角。如图，|→c|sin可看做是高“h”。而刚刚说过，|→p|大小为→a、→b为边的平行四边形面积，底面积乘以高，所以（→a×→b×→c）的大小可看做是以→a、→b、→c为棱的平行六面体的面积。不加绝对值符号的三阶行列式表达式可看做是以→a、→b、→c为棱的平行六面体的有向面积。在前面展开式的基础上，不难推出n个n维向量的向量积的表达式。由上述计算过程可以归纳出，n个n维向量的向量积的展开式应含有nn个向量，但其中不为零的向量应有n!个。n个n维向量的向量积是一个n+1维向量，它的方向是n+1维空间中与这个n维空间垂直的方向，这个方向有两个，设其中一个为正，另一个即为负。由此得出的n!项的表达式就是n阶行列式的表达式。n阶行列式可理解为以n个向量为棱的超多面体的有向体积。注：本文主要思想为《换个角度看线性代数》的一部分