直线的倾斜角与斜率直线的方程

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考纲要求：1.理解直线的倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．(2)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[基础真题体验]考查角度[直线的倾斜角与斜率]1．(2013·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)b－a3－1a＝0D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝π2，则b＝a3≠0.若∠B＝π2，根据斜率关系可知a2·a3－ba＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练2．(2013·安徽高考)函数y＝f(x)的图象如图8­1­1所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn，则n的取值范围是()图8­1­1A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】由题意，函数y＝f(x)上的任一点坐标为(x，f(x))，故fxx表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f(x)有n个交点．如图，数形结合可得n的取值可为2,3,4.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两个方面：1.一般不单独命题，大多与其他知识结合考查直线方程的应用．2.难度以中档题为主，考查学生的等价转换能力．考向预测预测2016年高考对该部分知识单独命题的可能性依然不大，但应注意直线与圆锥曲线交汇命题是高考的一个热点.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向一直线的倾斜角与斜率[典例剖析]【例1】(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.π6，π2∪π2，5π6B.0，π6∪5π6，πC.0，5π6D.π6，5π6(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】(1)根据cosα的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－33cosα，又cosα∈[－1,1]，∴－33≤tanθ≤33，又0≤θ＜π，且y＝tanθ在0，π2及π2，π上均为增函数，故θ∈0，π6∪5π6，π.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)根据题意可画出如图所示的图象．∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练1．已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)．(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．2．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k0k＞0不存在k＜0菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习]经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】如图所示，结合图形：为使直线l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角；k＝0时，α＝0；k＞0时，α为锐角．又kPA＝－2－－11－0＝－1，kPB＝－1－10－2＝1，∴－1≤k≤1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4∪3π4，π.【答案】[－1,1]0，π4∪3π4，π菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向二求直线的方程[典例剖析]【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】(1)sinα＝1010⇒cosα的值⇒tanα的值⇒点斜式方程；(2)由截距式求直线的方程；(3)分斜率存在和不存在两类问题结合点到直线的距离公式求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0＜α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练求直线方程时应注意的两大问题1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于点B，且|AB|＝5.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练解(1)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即直线l过点(0,0)和(3,2)，从而直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设直线l的方程为xa＋ya＝1，∵直线l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1.∴a＝5，即直线l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，从而直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)设所求直线的斜率为k，依题意得k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练求得点B坐标为(1,4)，此时AB＝5，即x＝1为所求．设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝kx－1，得两直线交点为x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2(k≠－2，否则与已知直线平行)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练故B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，因此y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向三直线方程的综合应用[典例剖析]【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】(1)转化为两直线的交点问题；(2)由直线不经过第四象限建立不等式组，求k的取值范围；(3)表示出△AOB的面积，借助不等式求最值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1