微分方程基本概念

返回常微分方程方法与应用基本知识数学与统计学院张齐鹏电话：[phone]信箱：[e-mail]返回微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.第一节微分方程的基本概念返回一、问题的提出返回一、问题的提出返回例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、问题的提出返回微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义返回分类1:常微分方程,偏微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.例如:;22xxydxdy(2x+y)dx+xdy=0;;222xydxdydxydx都是常微分方程.本章只讨论常微分方程.,yxxz微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.偏微分方程返回,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:ydxdy2例1中的方程是一阶微分方程；例2中的方程4.022dtsd是二阶微分方程.返回微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.三、主要问题-----求方程的解例如:对于微分方程022ydxyd考虑函数y=sinx因为(sinx)+sinx=sinx+sinx=0所以y=sinx是方程的解.022ydxyd返回(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同..解条件确定特解的条件称为定.条件在这里我们仅讨论初始：的初始条件为一般地，一阶微分方程00yyxx：件为二阶微分方程的初始条00''00yyyyxxxx返回：为阶微分方程的初始条件n)1(0)1(00000''nxxnxxxxyyyyyy求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.如例1是一个初值问题.120xyydxdy，是方程的通解；xeCy2.2件的特解是方程满足所给初始条xey返回.2004.00022ttdtdssdtsd，且，例2也是一个初值问题.是方程的通解；2122.0CtCts.202.02件的特解是方程满足所给初始条tty微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是积分曲线族,特解的图形是积分曲线族中的一条积分曲线.返回例:已知一条曲线通过(1,2).且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x,求这条曲线.x0xy(1,2)解:设所求的曲线为y=y(x),则y=x2+C,y=2x其中C是任意常数.又曲线过定点(1,2).即,2=1+C,得C=1故所求曲线方程为y=x2+1注:微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.返回补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)返回微分方程在实际工作中有着广泛的应用.我们研究微分方程的主要问题是：1.根据实际问题的要求和条件，建立反映变量间内在联系的微分方程，并列出初始条件；2.求出微分方程通解及满足初始条件的特解；3.研究解的性质或物理意义.在这里我们主要讨论上述第二个问题.从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一要求来说，返回微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．四、小结本节基本概念：返回思考题函数xey23是微分方程04yy的什么解?返回思考题解答,62xey,122xeyyy4,0341222xxeexey23中不含任意常数,故为微分方程的特解.返回三、设曲线上点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.一、填空题:1、022yxyyx是______阶微分方程；2、022cQdtdQRdtQdL是______阶微分方程；3、2sindd是______阶微分方程；4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.二、确定函数关系式)sin(21CxCy所含的参数,使其满足初始条件1xy,0xy.练习题返回练习题答案一、1、3；2、2；3、1；4、2.二、.2,121CC三、02xyy.