微分方程奇解研究

微分方程奇解研究摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。在这里我们讨论不存在奇解的判别法。如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C-判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。关键词：奇解；判别式；包络线StudingonsingularsolutionofDEAbstract:Thisarticlemainlydiscussedordinarydifferentialequation,thesolutionisalsogiven.Adifferentialequationwhetherexitssolution,asingularhowtofindthesolutionisthemainpurposeofthearticle.Herewediscussthediscriminantmethoddoesnotexist.Ifequationwithit'ssingularsolution,generallyhavefivemethodscanfindit'sthesolution,namelynaturallaw,methodofpoems,C-discriminantcurve(C-eliminationtechnique),P-discriminantcurve(P-eliminationtechnique),C-Pdiscriminantmethod.Themostcommonlyused,convenientmethodisthebackofthethree,inheretothethreemethodsarediscussedindetail.Keywords:Singularsolution;discriminant;envelope前言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。1奇解的基本概念与性质1.1奇解的定义设一阶隐式方程),,(,yyxF=0有一特解)(:xy，jx如果对每一点，在P点的任何一个领域内，方程),,(,yyxF=0都有一个不同于的解在P点与相切，则称是微分方程的),,(,yyxF=0的奇解。定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解。1.2奇解产生的必要条件先看一个例子，求方程023ydxdy（1）或与它等价的方程32ydxdy的解。经分离变量后，可得（1）的通解3)(271cxy容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。1.3奇解的一般求法自然法:找出方程不满足唯一性条件的点集合L，例如{(,)|}fLxyy，再验证它是否是奇解。拾遗法:在求通解过程中，方程两边约去的不含导数的因式，令其为零，可能得到奇解。1.4奇解的基本性质性质１设),,(pyxF及其各一阶偏导数是),,(pyx的连续函数，若方程),,(dxdyyxF有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(yx之中。性质２从定义知道，一阶微分方程的通解的包络一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程通解的包络。性质３设),,(cyx及其各一阶偏导数是连续函数，若),,(cyx=0有包络，并且该包络是一条连续曲线，且有连续转动的切线，则它必包含在C-判别曲线0),(yx之中。2包络的求法我们现在给出曲线族包络的定义：某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。设给定单参数曲线族0),,(cyx（1）其中c是参数，),,(cyx是x,y,c连续可微函数。曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。例如，单参数曲线族222)(Rycx（这里的R是常数，C是参数）表示圆心为（C，0）而半径为R的一族圆，此曲线族显然有包络y=R和y=-R（见图1）2.1包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,yyxF的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,yyxF的奇解。事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y）处的x,y和,y（斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y和,y满足方程0),,(,yyxF。这就是说，包络是积分曲线。其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,yyxF的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线：2.2P-判别曲线2.2.1P-判别曲线的充分条件假设)p,,(yxF是一个二阶连续微分方程，如果积分曲线)x(y是P-判别曲线，且满足下列方程：0),,(yxF，0),,(ppxF那么)x(y是方程0)y,,(yxF的奇解，且py。2.2.2P-判别曲线的必要条件如果),,(yyxF关于yyx,,连续可微，则只要0yF就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程：0),,(yyxF，0),,(yyyxF于是我们有下面的结论：方程0),,(xyyxF的奇解包含在由方程组(,,)0(,,)0PFxyPFxyp消去p而得到的曲线中，这里),,(PyxF是Pyx,,的连续可微函数。此曲线称为方程的P-判别曲线，P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步验证。例2.1求方程01)(22ydxdy的奇解。解：从020122pyp消去p得到P-判别曲线1y容易验证，此两直线都是方程的奇解。因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1y是微分方程的解，且正好通解的包络。这里介绍另外一种求奇解的方法：2.3C-判别曲线2.3.1C-判别曲线的充分条件由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组0),,(0),,(,cyxcyxc消去c得到所谓C-判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。例2.2求直线族0sincospyx(2)的包络，这里的是参数，P是常数。yidutv.cn解：将（2）对求导，得到0cossinyx（3）为了从（2），（3）中消去，将（3）移项，然后平方，有22222sincos2sincosxyyx（4）将（3）平方，又得0sincos2cossin2222xyyx（5）将（4），（5）相加，得到222Pyx（6）容易检验，（6）是直线（2）的包络（见图2）例2.3求曲线族0)(32)(32cxcy（7）的包络。解：将（7）对C求导数。得到0)(3.32)(23cxcy即0)(2cxcy（8）为了从（7）和（8）消去C，将（8）代进（7），得0)(32)(34cxcx即032)()(3cxcx，从x-c=0得到y=x（9）从032cx得到92xy（10）因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x不是包络，而直线92xy是包络（见图3）值得注意的是，在C-判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合,在奇点,曲线没有确定的切线.因此这种C-判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.2.3.2C-判别曲线的必要条件定理4若L是曲线族（1）的包络线，则它满足如下的C-判别式(,,)0(,,)0cxycxyc（11）反之，若从（3）解得连续可微曲线:(),()xcyc且满足非蜕化条件：0)()(22cc和0)),(),(()),(),((22ccccccyx则是曲线族的包络线。证明：在L上任取一点),(yxp，由包络线的定义，有（C）中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为c，故L上的点坐标x和y均是c的连续可微函数，设为)(),(cycx又因为),(yxp在l上，故有恒等式0)),(),((ccycx（12）L在p点的切线斜率为)()(cxcykLl在p点的切线斜率为)),(),(()),(),((ccycxccycxkyxl因为l为L在p点相切，故有lLkk，即有关系式0)()),(),(()()),(),((cyccycxcxccycxyx（13）另一方面，在（4）式两端对C求导得0)),(),(()()),(),(()()),(),((ccycxcyccycxcxccycxcyx此式与（5）式比较，无论是在)(),(cycx和yx,同时为零还是不同时为零的情况下，均有下式0)),(),((ccycxc（14）成立。即包络线满足C-判别式（3）。反之，在上任取一点))(),(()(cccq则有((),(),)0((),(),)0ccccccc（15）成立。因为yx,不同时为零，所以对（15）在q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线)(:xhy（或)(xkx）它在q点的斜率为：)),(),(()),(),((cccccckyx（16）另一方面，在q点的斜率为：)()(cck（17）现在，由（15）式的第一式对C求导得0)()),(),(()()),(),((ccccccccyx（18）因为)(),(cc和yx,分别不同时为零，所以，由（18），（17）和（16）推出kk，即曲线族（1）中有曲线在q点与曲线相切。因此，是曲线族（1）的包络线。例2.4求方程21ydxdy的奇解。解：21ydxdy21dydxydxdyy211该方程的通解为)sin(cxy。由C-判别式sin()0cos()yxcxc的第二式解出2xck，,2,1,0k代入第一式，得到1y.因为01y，01)(c，故1y为方程的奇解。强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验。2.4不存在奇解的判别方法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。方法1假设方程(,)dyfxydx（19）的右端函数2),(RDyxf在区域上有定义，如果),(yxf在D上连续且),(yxfy在D上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，