微分方程组的消元法和首次积分法

微分方程组的消元法和首次积分法这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法:消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时必需注意它们的局限性.一、微分方程组的消元法将一阶微分方程组：),,,,(),,,,(),,,,(2121222111nnnnnyyyxfdxdyyyyxfdxdyyyyxfdxdy中的未知函数nyyy,,,21只保留一个，消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出方程构成的常系数微分方程组的求解.例1求解方程组212211223yydxdyyydxdy解保留2y，消去1y.由方程组的第二个方程解出1y，得)(21221ydxdyy（5.1）对上式两边关于求导，得x)(2122221dxdydxyddxdy（5.2）将（5.1）和（5.2）代入原方程组的第一个方程得0222222ydxdydxyd这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为xexccy)(212（5.3）将上式代入（5.1）得xexcccy)22(212211故原方程组的通解为xxexccyexcccy)()22(212122211其中21,cc是任意常数.注上面把（5.3）代入（5.1）经过求导，而没有经过求积分就求出了1y，若把（5.3）代入原方程组中的第一式，使得xexccydxdy)(232111这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为xxecexcccy332211)22(21（5.4）在（5.4）中出现了三个任意常数321,,ccc这与前面求得不一致，事实上，当把（5.4）及xexccy)(212代入原方程组就发现，当且仅当03c时，（5.4）才可成为方程组的解，故（5.4）不是原方程组的通解，其中3c是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方法来求其他的未知函数.例2求解方程组.,2xydtdyydtdx解将第一个方程求导得dtdydtxd22代入第二个方程得0)(1222dtdxxdtxd（5.5）此方程是不显含自变量t的可降阶的方程，设dxdppdtdxdxdpdtdpdtxdpdtdx22,012pxdxdpp即有0)(xpdxdpp（5.6）0xpdxdp由，分离变量并积分得xcp1代入方程（5.5）得从而有xcdtdx1对上式积分得ctcx1lntcecx12或再由第一个方程得tceccy121由（5.6）还可得,0p从而有,cx由第一方程得,0y该组解包含在上面所得的.,11212tctceccyecx通解中,故原方程组的通解为)(tx设是定义在某区间I上的具有n阶连续二微分算子与线性微分方程组这里介绍微分算子D及其用消元法解线性微分方程组的应用..1,,nkdtxdxDdtdxDxkkk导数的函数，微分算子D被定义为这里相应地定义算子多项式：,111nnnnaDaDaDL.'1)1(1)(xaxaxaxnnnnxaDaDaDLxnnnn)(111由算子多项式L的定义可以看出L是线性算子.例如设,,23,13221txDLDL则,29,6)1(3223321ttxLtttDxL)29)(1()(3222121ttDxLLxLL32291218ttt)6)(23()(31212ttDxLLxLL32291218ttt下面用微分算子的方法求解常系数线性微分方程组.设4321,,,LLLL是四个线性微分算子多项式，且给定如下的线性微分方程组：)()(2241312211tgxLxLtgxLxL（5.7）3L用算子作用第一个方程的两边，用算子1L作用第二个方程的两边，得)()(2124113113223113tgLxLLxLLtgLxLLxLL（5.8）由上面的第二个方程减去第一个方程得)()()(132122341tgLtgLxLLLL（5.9）用算子表示的方程（5.9）是一个仅依赖于变2x量的一个高阶微分方程，可以求出2x再利用（5.7）的任何一方程可把1x求解出来.例3求解方程组283223222121121xxxxtxxx解设82,32,2,324321DLDLDLDL2)(,)(21tgttg则ttgLtgL32)(,6)(1321222222234124168)(xdtdxdtxdxLLLLt38由上面的方程得txdtdxdtxd8313222222该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为12583212tececxtt（5.10）将（5.10）代入原方程组的第一个方程中得ttecectxdtdx32111624132该一阶线性非齐次微分方程通解为233321132236113tttececectx（5.11）将（5.10）和（5.11）代入原系统的第二个方程中得,03c故原方程组的通解为125836113132232123211tececxtececxtttt注对例3，也可以用下面的方法求解)(14224114tgLxLLxLL)(22242132tgLxLLxLL)()()(221413241tgLtgLxLLLLtxdtdxdtxd822416811212336113211tekekxtt形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分.三微分方程组的首次积分法首次积分法是将方程组经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个),,,,(21'niixxxtfx),,2,1(ni例4求解方程组dxydtdyxdt方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合解将两个方程相加得()dxyxydt以作为一个未知函数，并对上式积分得yx1txyce（5.12）方程（5.12）就是原方程组的一个首次积分，再将两个方程相减得()()dxyxydt以作为一个未知函数，对上式积分得yx2txyce（5.13）方程（5.13）是原微分方程组的另一个首次积分，由（5.12）和（5.13）可解出未知函数12121()21()2ttttxceceycece这里21,cc是任意常数，因此原方程组通解为1212ttttxceceycece例5求解方程组)1()1(2222yxyxdtdyyxxydtdx解把方程组中的第一个方程乘以,x第二个方程乘以,y然后两式相加得)1)((2222yxyxdtdyydtdxx即有dtyxyxyxd)1)((2)(222222把看作未知函数，积分得22yx1222221ceyxyxt12222ceeyxtt（5.14）再利用原方程可得)(22yxdtdxydtdyx即有1)(arctanxydtd由此得另一个首次积分由上式可得2arctanctxy（5.15）积分（5.14）和（5.15）得采用极坐标,sin,cosryrx代入首次tcecrt221,11因此，原微分方程的通解为ttectcyectcx2222121)sin(1)cos(从上面两个例子可看出,利用首次积分可求出微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程组中未知函数以及方程的个数,为此,我们下面介绍首次积分的定义,并叙述有关的结论.考虑一般的阶微分方程组n),,,(1'niixxtfxni,,2,1（5.16）其中右端函数),,,(1nixxtf在某个区域1nRD内对nxxxt,,,,21是连续的，且对nxxx,,,21是连续可微的.微，且不是常数，把（5.16）的任一解D设在区域内连续可),,,,(21nxxxt()iixxt代入使),,,,(21nxxxt成为),,2,1(ni与t无关的常数，此常数与所取解有关,则称12(,,,)ntxxxc为方程组（5.16）的是方程组（5.16）的首次积分。设微分方程组（5.16）有n个首次积分nnnncxxxtcxxxt),,,,(,,),,,,(211211如果在某区域内它们的Jacobi行列式0),,(),,(11nnxxDD称函数),,,,(21nxxxt一个首次积分，有时也则称它们在区域G内为互相独立.定理1设函数),,,,(21nxxxtD在区域内是方程组（5.16）的首次积分的充要条件为连续可微，且它不是常数，则12(,,,)ntxxxc011nnfxfxt本定理给出了检验一个函数是否为方程组的首次积分的方法.利用首次积分法可消去某些未知函数,从而减少微分方程组中方程的个数.定理2若已知方程组（5.16）的一个首次积分，则可把方程组求解问题转化为含n-1个方程的方程组的求解问题.定理3若方程组（5.16）有n个互相独立的首次积分,,,,21n则可由它们得到微分方程组(5.16)的通解.该定理表明,为了求解方程组(5.16),只需求出它的n个互相独立的首次积分就可以了.事实上,我们在例5.4和例5.5给出的首次积分是互相独立的.因此由它们确定出的解都是通解例6利用首次积分求解方程组22)()(xyxdtdyxyydtdx解由第一个方程和第二个方程相除得xydydx因此，得到原方程组的一个首次积分1221cyx再利用第一个方程减去第二个方程得2)()()(yxyxdtyxd把看作未知函数，对上式积分得yx222)(21cyxt因为0)(2),(),(2221121yxyxyxyxDD故首次积分是相互独立的，所2211,cc以原方程组通解为22122)(21ctyxcyx