《抛物线过焦点弦性质》

抛物线过焦点弦的性质及应用萧城一中：孙鑫2011年1月11号星期二复习回顾抛物线性质：1，抛物线定义2，抛物线几何性质图形标准方程范围对称性顶点离心率)0(2ppxy2)0(2ppyx2)0(2ppyx2Ryx,0)0,0(Ryx,0Rxy,0Rxy,0)0,0()0,0()0,0(关于x轴对称，无对称中心关于x轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2•练习1,M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是:()这就是抛物线的焦半径公式!Oyx．FM．X0+p/2过焦点弦与抛物线交点坐标关系例1：已知F是抛物线y2=6x的焦点，过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点①当直线的斜率k=1时，求x1x2,y1y2的值②当直线的斜率k=2时，求x1x2,y1y2的值上面结果是巧合吗？分析：关键是联立方程组，利用根与系数的关系求解。解:①x1x2=_____y1y2=_____②x1x2=_____y1y2=______FAxyB494999已知F是抛物线y2=2px(p0)的焦点，过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点证明：x1x2=y1y2=42p2pFAxyB心动不如行动过焦点弦长问题例2：过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45度的直线交抛物线与A，B两点，求∣AB∣xyOFAB分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离公式可得∣AB∣解（法一）由条件可得F（1，0）则直线的方程为：y=x-1由可得解得由两点距离公式可得∣AB∣=8（法二）利用方程，利用弦长公式同样可的∣AB∣=8xyxy412)222,223(),222,223(BA0162xxxyOFAB分析：利用抛物线性质解决问题解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2)∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+1+1由上知x1，x2是方程的两根，故x1+x2=6，所以∣AB∣=6+2=8xyOFABB’A’0162xx一般的:若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则1,∣AB∣有最小值吗？若有又为多少？2，对于其他标准方程，你能写出过焦点弦长公式吗？pxxAB21想一想？？xOyF通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径的长度为：此是2p的几何意义。AB2p例3：设F是抛物线G：x2=4y的焦点，A，B为G上异于原点的两点，且满足的两点，延长AF，BF分别交抛物线G与C，D，求四边形ABCD面积的最小值0FBFAFACDBx分析：解此题的关键是把四边形面积表示出来解：如图设直线AC的斜率为k则k≠0由条件可知直线AC方程为y=kx+1联立方程组可得故xA+xC=4k所以︱AC︱=yA+yC+2=k(xA+xC)+4=4k2+4同理可得︱BD︱=4（1/k2+1)故SABCD=(当且仅当k2=1时取=)FACDByxkxy4120442kxx32)22(8)21(8)11)(1(8212222kkkkBDAC1，长为8的线段AB两端点在抛物线y2=6x上运动，求AB中点M到抛物线准线的最近距离。（）2，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。4xyOFABD咱来试一试小结：1，过抛物线焦点弦与抛物线交点坐标关系2，过抛物线交点弦的弦长问题及应用P76，7，9，10作业