基本初等函数II基础知识整合三角函数的概念1

1第四讲基本初等函数（II）一、基础知识整合（一）三角函数的概念1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为α|2kπα2kπ＋π2，k∈Z；②α是第二象限角可表示为；③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为．(3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作__________________________________；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作__________________________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_________；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．||α＝________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad，1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝______＝_____．3．任意角的三角函数2(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r0)，则sinα＝_____，cosα＝______，tanα＝______(x≠0)．※cotα＝xy(y≠0)，secα＝rx(x≠0)，cscα＝ry(y≠0)．三角函数定义域sinα①cosα②tanα③(3)三角函数值在各象限的符号4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数sinα3cosαtanα※sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．（二）三角函数同角关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________；②．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanαπ2±α∓cotα※π±α3π2±α∓cotα※2π±α(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角如π2＋α所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角）锐角三角函数43．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系(sinα＋cosα)2＝________________；(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝________________.（三）三角函数图象和性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．3．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域①________②________③_______图象值域④________⑤________R对称性对称轴：⑥________；对称中心：⑦__________对称轴：⑧________；对称中心：⑨__________无对称轴；对称中心：⑩_______最小正周期⑪__________⑫__________⑬_______单调性单调增区间⑭_________；单调减区间⑮__________单调增区间⑯_________；单调减区间⑰__________单调增区间⑱_______奇偶性⑲________⑳_______○21_______（四）三角函数图象变换1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换(ω＞0)5路径①：先向左(φ0)或向右(φ0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ0)或向右(φ0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A0，ω0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1T＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．【答案】（一）三角函数的概念1．(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴②α|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z③α|2kπ＋πα2kπ＋32π，k∈Z④α|2kπ＋32πα2kπ＋2π，k∈Z或{α|2kπ－π2α2kπ，k∈Z}(3)坐标轴②{}α|α＝2kπ＋π，k∈Z③α|α＝2kπ＋π2，k∈Z④α|α＝2kπ＋32π，k∈Z⑤{α|α＝kπ，k∈Z}⑥α|α＝kπ＋π2，k∈Z⑦α|α＝kπ2，k∈Z(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．(1)半径长lr(2)2πππ180180π°6(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsinαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα012223213222120－10cosα13222120－12－22－32－101tanα03313不存在－3－1－330不存在0（二）三角函数同角关系与诱导公式1．(1)①sin2α＋cos2α＝1②sinαcosα＝tanα2．(1)x函数sinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanαπ2±αcosα∓sinα∓cotα※π±α∓sinα－cosα±tanα3π2±α－cosα±sinα∓cotα※2π±α±sinαcosα±tanα(2)不变锐角象限(3)锐角3．1＋2sinαcosα1－2sinαcosα24sinαcosα（三）三角函数图象和性质1．(1)(0，0)π2，1(π，0)3π2，－1(2π，0)7(2)(0，1)π2，0(π，－1)32π，0(2π，1)2．f(x＋T)＝f(x)最小正周期3．①R②R③x|x≠kπ＋π2，k∈Z④[－1，1]⑤[－1，1]⑥x＝kπ＋π2(k∈Z)⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z)⑨kπ＋π2，0(k∈Z)⑩kπ2，0(k∈Z)⑪2π⑫2π⑬π⑭2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)⑮2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)⑲奇函数⑳偶函数○21奇函数（四）三角函数图象变换1.x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π32π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.||φ1ωA1ωφωA3.2πωω2π0.二、热点题型展示类型一角的概念与扇形的弧长与面积问题例1.半径为cm，则060圆心角所对的弧长为（）A.23cmB.3cmC.23cmD.223cm【答案】A【解析】圆弧所对的圆心角为060即为3弧度，半径为πcm8弧长为233lrcm故选：A.例2.已知扇形的周长为6cm，面积是22cm，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．4C．1或4D．