基本初等函数复习课知识总结

知识结构及知识梳理基本初等函数指数与指数函数对数与对数函数幂函数指数指数函数N次方根及其性质根式及其性质分数指数幂有理数指数幂的运算性质定义图像及性质对数对数函数定义运算性质换底公式定义图像和性质定义图像和性质根式的性质(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示.(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示.正负两个n次方根可以合写为(a＞0)(3)(4)当n为奇数时，；当n为偶数时，(5)负数没有偶次方根(6)零的任何次方根都是零nananana()()=00aaaa()aann=nnaa=||nnaa=指数式与对数式1、各种有理数指数的定义：①正整数指数幂：an=a·a···a（n∈N）②零指数幂：a0=1（a≠0）③负整数指数幂：a－n=（a≠0，n∈N）④正分数指数幂：a=（a＞0，n＞1，m、n∈N）⑤负分数指数幂：a－=（a＞0，n＞1，m、n∈N）1anmnmn√nam√nam12、幂的运算法则：①am．an=am＋n②am÷an=am－n（a≠0）③（am）n=amn④（ab）m=ambm、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记为b=logaN。ab=Nb=logaN。（a＞0且a≠1）logaN4、对数恒等式：a=N（a＞0且a≠1，N＞0）5、对数的性质：①0和负数没有对数；②loga1=0；③logaa=1。6、对数的运算法则：①loga(MN)=logaM＋logaN（M，N＞0）③logaMn=nlogaM（M＞0）②loga=logaM－logaN（M，N＞0）MN、对数的换底公式：logaN=logbNlogba重要推论：logab·logba=1，logabn=logabmmn8、以e为底的对数叫做自然对数以10为底的对数叫做常用对数。．以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④答案：C2.给出下列5个命题:(1)负数与零没有对数;(2)1的对数等于零;(3)底的对数等于1;(4)正实数都可以作为对数的底数;(5)正数的对数必定大于零.其中正确的有_______.（3）计算lg2＋lg3－lg10lg1.8.[例1](1)计算(0.027)－13－17－2＋27912－(2－1)0；(2)已知10α＝2,10β＝3，求1002α－13β.656131212132)3()6)(2(bababa（4）(5)lg37＋lg70－lg3－lg23－lg9＋1；(6)(lg4－lg60lg3＋lg5)3－45×2－11.题型一：指对运算（3）原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝12lg1810lg1.8＝12.课堂互动讲练(5)原式＝lg37×703－lg23－2lg3＋1＝lg10－(lg3－1)2＝1－|lg3－1|＝lg3.2(4)4a(6)原式＝(lg460lg15)3－210×2－11＝(－lg15lg15)3－2－1＝－32.[例2]已知9a＝2b＝136，求1a＋2b的值．[解析]对条件式等号两边各取以16为底的对数得，a·log169＝blog162＝2.∴1a＋2b＝log163＋log162＝log166＝－1..______________11则,1052练习：若===baba题型二：已知值求代数式的值课堂例题;5log表示,试用,3lg,2lg已知)1.(3例12baba==.56log表示,试用,7log,3log已知)2(1432baba==指数函数与对数函数1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈R；②y∈(0,+∞);③过定点(0,1)④当x＞0时,y＞1,x＜0时,0＜y＜1④当x＞0时,0＜y＜1,x＜0时,y＞1⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.xoyxoy()xxyaya==底数互为倒数的两个指数函数的函数图像关于y轴对称。、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈(0,+∞)；②y∈R;③过定点(1,0)④当x＞1时,y＞0,0＜x＜1时,y＜0④当x＞1时,y＜0,0＜x＜1时,y＞0⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.==底数互为倒数的两个对数函数的函数图像关于x轴对称。题型三：概念://．函数y＝ax－1(0＜a＜1)的图象必过定点________．答案：(0,0)7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．答案：m＞n题型四：定点与单调性题型五：利用单调性比较大小例2(1)设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2【答案】D(3)log1.10.7与log1.20.7(2)log323与log565；【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，,1.81.51.32.∴根据指数函数的性质可得，y1y3y2.故选D.y3＝12－1.5=21.5(2)∵log323＜log31＝0，log565＞log51＝0，∴log323＜log565.(3)法一：∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.∴1log0.71.1＜1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象．如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.[例2](4)0.32，log20.3,20.3这三数之间的大小顺序是()A．0.3220.3log20.3B．0.32log20.320.3C．log20.30.3220.3D．log20.320.30.32答案：C5.若loga2＜logb2＜0，则()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜aB（5）logx231)13(log)32(log)1(2121xx)5(log)12(log)2(22xx[例3]解关于x的不等式)2(log)4(log)3(xxaa0)13(log)23(log)4(5.02xx12log(31)3.x（6）（0，2）题型六：利用单调性解不等式----关键：化同底题型七：求定义域与值域不为零为非负数不为零大于零且不等于1大于零)1(求下列函数的定义域：.1例121=xy.211)2(xy=}3221|{xxx或)3(log)3(1xyx=).1且,0()1(log)5(2=aaxya;)23(log1)4(3=xy)1(log)6(=xya课堂互动讲练求下列函数的定义域：(7)y＝12－|x|＋x2－1；(8)y＝x2lg(4x＋3)＋(5x－4)0.∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动讲练【解】(7)由2－|x|≠0，x2－1≥0，得x≠±2，x≤－1，或x≥1.(8)由4x＋30，4x＋3≠1，5x－4≠0，得x－34，且x≠－12，x≠45.∴函数的定义域为(－34，－12)∪(－12，45)∪(45，＋∞)．课堂互动讲练例3已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．例2.若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于_______.xay=涉及值域问题关键是画图像，若直接不能画出的换元之后画图。【解】(1)先求定义域得，x∈(－1,3)，由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4在区间(－1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数，又由y＝log4u在(0，＋∞)上是增函数，故原函数的单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)．课堂互动讲练(2)因为u＝－(x－1)2＋4≤4，当x＝1时，u＝4，所以y＝log4u＝log44＝1，所以当x＝1时，f(x)取最大值1.【失误点评】最易忽视函数定义域．解：由例3解析知，函数的增区间为[1,3)，减区间为(－1,1]，无最大值，只有最小值1.课堂互动讲练互动探究在例3中若函数f(x)＝log14(2x＋3－x2)，如何回答例3的问题？练习：函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝________.解析：由9－x20⇒－3x3，则A＝(－3,3)，又09－x2≤9，∴y＝log3(9－x2)≤2，则B＝(－∞，2]．∴A∩B＝(－3,2]．答案：(－3,2]三基能力强化例4当x∈[2,8]时，求函数的最大值和最小值.22loglog24xxy=minmax7,24yy==例5已知集合A={x|log2(-x)x+1},函数f(x)=ln(2x+1)的定义域为集合B，求A∩B.1(,0)2[例6]求函数y＝2log212x－log12x2＋1(14≤x≤4)的值域．[解析]令log12x＝u，∵14≤x≤4，∴－2≤u≤2，函数变为y＝2u2－2u＋1＝2(u－12)2＋12(－2≤u≤2)．∴当u＝12时，ymin＝12；当u＝－2时，ymax＝13.由u