基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则公式二:1()()xx是常数公式一:=0(C为常数)C算一算：求下列函数的导数(1)y=x4;(2)y=x-5;;)3(xy;1)4(2xy注意公式中,n的任意性.4x3-5x-62121x-2x-3公式三:公式四:xxcos)(sinxxsin)(cos公式五:对数函数的导数1(1)(log)(0,1).lnaxaaxa1(2)(ln).xx公式六:指数函数的导数(2)().xxee(1)()ln(0,1).xxaaaaa.cos)(sin3'xx公式.sin)(cos4'xx公式aaaxxln)(5'公式xxee')(6公式'17(1)lnaogxxa公式xnx1)1(8'公式记一记0()CC公式1为常数1()xx公式2为常数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝2x；(5)y＝2sinx2cosx2.[分析]对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝1x4可以写成y＝x－4，y＝5x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．[解析](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(4)y′＝(2x)′＝2xln2.(5)y′＝2sinx2cosx2′＝(sinx)′＝cosx.•[点评]运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．•求下列函数的导数：•(1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0.•[解析]由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－2x3.(2)y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)y′＝(log3x)′＝1xlog3e.(4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x);应用1:求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.xxycos3'22'32yx一、导数的运算法则法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:应用2:求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-2)(2)y=(1+x6)(2+sinx)9818)23()'32()'23)(32('222xxxxxxyxxxxycos)1()sin2(6'65)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf应用3:求下列函数的导数33)2(2xxy(1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)'cossin('222)3(36'xxxy[例2]求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x＋2；(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；(3)y＝33x4＋4x3.[解析](1)y′＝15x5－43x3＋3x＋2′＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋(2)′＝x4－4x2＋3.(2)解法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5.解法2：∵y＝12x10－7x8－12x6∴y′＝120x9－56x7－72x5.•[点评]1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．•2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．(3)y′＝(33x4＋4x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′例2:求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用(2)求y＝1x＋2x2＋3x3的导数．(1)求下列函数的导数．①y＝x2sinx②y＝x2(x2－1)[解析](1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x.(2)y′＝1x＋2x2＋3x3′＝1x＋2x－2＋3x－3′＝－1x2－4x－3－9x－4＝－1x2－4x3－9x4.练一练：（1）下列各式正确的是（）6551)'.(cos)'.(sinsin)'cos.(cos)'.(sinxxDxxCxxBA（为常数）C（2）下列各式正确的是（）3ln3)'3.(3)'3.(10ln)'.(log1)'.(logxxxxaxaDxCxBxAD(3)f(x)=80，则f'(x)=______;''(4)(),()______;(1)______xfxefxf则等于等于0xee'(5)(1)________aogxaxln1例1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？015%tptp0p01p解:根据基本初等函数导数公式表,有05.1ln05.1)(ttp)/(08.005.1ln05.1)10(10年元p所以tptp%)51()(0因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.•三、解答题•6．求下列函数的导数•(1)y＝x4－3x2－5x＋6；•(2)y＝x·tanx；•(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝x－1x＋1.[解析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；(2)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝(xsinx)′cosx－xsinx(cosx)′cos2x＝(sinx＋xcosx)cosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x；•(3)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′•＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′•＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)•＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；•解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)•＝x3＋6x2＋11x＋6，•∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；(4)解法1：y′＝x－1x＋1′＝(x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′(x＋1)2＝x＋1－(x－1)(x＋1)2＝2(x＋1)2；解法2：∵y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，∴y′＝1－2x＋1′＝－2x＋1′＝2(x＋1)2.[例3]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．[分析]题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．[解析]因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.[点评]本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力．由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.例2.日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为：5284()(80100)100cxxx求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%%x解：252845284'(100)5284(100)''()()'100(100)xxcxxx2205284(1)5284(100)(100)xx'(90)52.84()'(98)1321()cc元/吨元/吨1.2.3复合函数求导基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx练习1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2(4)y=2x(5)y=log3x0y34xy3ln1xy3322xxy2ln2xy?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu.2ln,,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin)(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx；；；；练习1sin,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos,sinyuux1sin,1yuux复合函数(())yfgx的导数和函数()yfu,()ugx的导数间的关系为'''xuxyyu