基本初等函数知识点及练习

1【指数与指数函数】一、指数（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：naa个)(Nn；na),0(Nna．规定：0a)0(a．2．整数指数幂的运算性质：（1）mnaa，（2）mnaa),(Znm；（3）nma),(Znm；（4）nab)(Zn．（二）根式1．根式的概念（a的n次方根的概念）：一般地，如果一个数的n次方等于a1,nnN，那么这个数叫做a的n次方根．即：若，则x叫做a的n次方根．1,nnN例如：27的3次方根，27的3次方根，32的5次方根，32的5次方根．说明：（1）若n是奇数，则a的n次方根记作na；若0a，则na，若0a，则na；（2）若n是偶数，且0a，则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；例如：8的平方根；16的4次方根．（3）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；（4）001,nnnN，00n；（5）式子na叫根式，n叫，a叫．2．a的n次方根的性质（1）一般地，若n是奇数，则nna；若n是偶数，则nna．（2）nna（注意a必须使na有意义）．（二）分数指数幂1．分数指数幂：规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是mna0,,1amnNn、；（2）正数的负分数指数幂的意义是mna0,,1amnNn、；（3）0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用10,,rsaaarsQ；220,,sraarsQ；30,0,rababrQ．说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；例如：5100aa，3120aa【练习巩固】1．求下列各式的值：（1）338（2）210（3）443（4）2abab2．已知0ab，1,nnN，化简：nnnnabab．3．计算：7407404．求值：59524．5．用分数指数幂的形式表示下列各式0a：（1）2aa；（2）332aa；（3）aa．6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263ababab；（2）83184mn；7．计算下列各式：（1）3451255；（2）2320aaaa．3二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数xya在底数1a及01a的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的伸展：图象的对称性：图象的位置：图象过定点：自左向右看，图象逐渐自左向右看，图象逐渐在第一象限内的图象纵坐标都在第一象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都图象上升趋势是越来越图象下降趋势是越来越函数值开始增长，到了某一值后增长速度函数值开始减小，到了某一值后减小速度总结：指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：．（2）值域：．（3）过点，即0x时，y．（4）在R上是函数，当0x时，；当0x时，．（4）在R上是函数，当0x时，；当0x时，．掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律．当1a时，axay的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．当10a时，axay的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．【练习巩固】一、指数函数的定义问题4例：若21(5)2xfx，则(125)f______________．练1．已知指数函数图像经过点(1,3)P，则(3)f______________．练2．设函数xaxf)(（0a且1a），4)2(f，则（）A．)2()1(ffB．)2()1(ffC．)2()2(ffD．)2()3(ff练3．已知)(xf是指数函数，且255)23(f，则(3)f．二、指数函数的图像问题例1：若函数(1)(0,1)xyabaa的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A．10ab且B．010ab且C．010ab且D．11ab且例2：画函数(1)xyaa的图像．练1．方程22xx的实根的个数为_______．练2．直线ay3与函数)10(1aaayx且的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．练3．若01x，则下列不等式中成立的是（）1.552xxxA1.552xxxB1.552xxxC1.552xxxD练4．函数)10(33aaayx且的图象恒过定点____________．练5．函数21(01)xyaaa且的图像必经过点____________．练6．设,,,abcd都是不等于1的正数，,,,xxxxyaybycyd在同一坐标系中的图像如图所示，则dcba,,,的大小顺序是（）A．dcbaB．cdbaC．cdabD．dcab三、求解有关指数不等式、方程例：已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是___________．练1．设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa．练2．解方程803322xx．练3．若方程0)21()41(axx有正数解，则实数a的取值范围是．xayxbyxcyxdyxyo5练4．设01a，使不等式222135xxxxaa成立的x的集合是．四、定义域与值域问题例：求下列函数的定义域、值域．（1）1218xy；（2）11()2xy；（3）3xy；（4）1(0,1)1xxayaaa．练1．当1,1x时，23)(xxf的值域为________．练2．已知函数)(xfy的定义域为2,1，则函数)2(xfy的定义域为________．练3．设集合2{|3,},{|1,}xSyyxRTyyxxR，则ST是（）A、B、TC、SD、有限集练4．求下列函数的定义域与值域（1）132xy；（2）1421xxy；（3）222)31(xy．练5．已知3412xx，求函数xy21的值域．五、最值问题例：函数221(01)xxyaaaa且在区间11，上有最大值14，则a的值是_______．练1．已知3,2x，求11()142xxfx的最小值与最大值．练2．已知21x，求函数xxxf9323)(1的最大值和最小值．6练3．设20x，求函数523421xxy的最大值和最小值．六、比较大小问题例：设1313131ab，则（）A．ababaaB．baaabaC．aabbaaD．aababa练1．若aa23122121，则实数a的取值范围是（）A．,1B．,21C．1,D．21,练2．下列三个实数的大小关系正确的是（）A．1201112201112B．2011121201112C．2011122011112D．2201112011121练3．比较下列各组数的大小：（1）若1cba，比较ba1与ca1；（2）若0ba，0c，比较ca与cb；（3）若0ba，0c，比较ca与cb；（4）若,1,ba，0yx，且yxba，比较a与b；（5）若1,0,ba，0yx，且yxba，比较a与b．七、单调性问题例：讨论函数xxxf2231)(的单调性．练1．函数xxy2221的单调增区间为___________．练2．函数xxy22的单调递增区间为．练3．函数1)1(222)(xaxxf在区间),5[上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．,6B．,6C．6,D．6,7练4．函数xy121的单调增区间为（）A．,B．,0C．,1D．1,0练5．函数121)(xxf在,上（）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值练6．求函数2222xxy的定义域，值域和单调区间．练7．求函数23231xxy的单调区间．八、函数的奇偶性问题例：当1a时，证明函数11xxaya是奇函数．练1．如果函数()fx在区间]24,2[aa上是偶函数，则a_________．练2．若函数1()41xfxa是奇函数，则a_________．练3．若函数2()()xufxe的最大值为m，且)(xf是偶函数，则um________．练4．设a是实数，2()()21xfxaxR，（1）试证明：对于任意,()afx在R为增函数；（2）试确定a的值，使()fx为奇函数及此时()fx的值域．练5．已知xxfx)21121()(．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(xf的奇偶性；（3）求证：0)(xf．8【对数与对数函数】一、对数1．对数的概念：一般地，如果xaN(0,1)aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：logaxN（其中：a是，N是，logaN是）两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数lgN；常用对数：10lglogNN（2）自然对数：以无理数2.71828e为底的对数的对数lnN．自然对数：lnlogeNN（其中2.71828e）；对数式与指数式的互化：logxaaNNx转化2．对数的性质：（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：log1a_______；（3）底数的对数是1：logaa_______；（4）对数恒等式：logaNa_______；（5）lognaa_______．3．对数的运算法则：logaMNMNR，；logaMNMNR，；lognaNNR；lognaNNR4．对数换底公式：logbN______________；5．由换底公式推出一些常用的结论：（1）loglogabba·，logab；（2）lognmab；（3）lognnab；（4）lognmaa．二、对数函数1．对数函数的概念：函数logayx(0a且1)a叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是0,2．对数函数logayx在底数1a及01a的图象特征及函数性质：图象特征函数性质1a01a1a01a图象的位置：函数图象都在y轴右侧图象对称性：图象关于原点和y轴不对称图象的伸展：向y轴正负方向无限延伸图象过定点为：函数图象都过定点1,0自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于09总结：指数函数logayx在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：．（2）值域：．（3）过点，即1x时，y．（4）在R上是函数，当1x时，；当01x时，．（4）在R上是函数，当1x时，；当01x时，．注：对数函数logayx与1logayx（0a且1a）的图像关于x轴对称．例：如图