28协方差与相关系数

11、协方差第16讲协方差与相关系数2、相关系数主要内容：重点：1-3难点：23、数字特征复习华软软件学院课件对于多维随机变量，期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没有反映随机变量间的关系.0)]}()][({[YEYXEXE由方差性质的证明知，相互独立，则若YX,,0)]}()][({[YEYXEXE反之，若不独立。与则YX这说明)]}()][({[YEYXEXE在一定程度上之间的关系。与反映了YX一、协方差设(X,Y)为二维随机变量，若)]}()][({[YEYXEXE存在，则称其为随机变量X和Y的协方差.记作cov(X,Y),即)]}()][({[),cov(YEYXEXEYX),cov(),(YXYX是离散型，则若ijjjiipYEyXEx)]([)]([,),cov(),(YXYX是连续型，则若dxdyyxfYEyXEx),()]()][([易得此外，由期望的性质，)()()(),cov(YEXEXYEYX相互独立时，有与特别地，当YX.0),cov(YX协方差的性质1性质)(),cov(XDXX2性质),cov(),cov(XYYX3性质),cov(),cov(YXabbYaX4性质0),cov(cX5性质),cov(),cov(),cov(2121YXYXYXX6性质0),cov(,YXYX则相互独立与若为常数cba,,7性质),cov(2)()()(YXYDXDYXD?),cov(baXX)(XaD:),(1的联合分布律为设二维随机变量例YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1XY).,cov(YX求0)(XYE,15.0)(,95.0)(YEXE解：)()()(),cov(YEXEXYEYX15.095.01425.0求协方差。练习：20.4:89P的密度函数为设二维随机变量例),(2YX其它＝,0,10,8),(yxxyyxf).,cov(YX求其它,010),1(4)(2xxxxfX其它,010,4)(3yyyfYdxxxfXE)()(102)1(4dxxxx158dyyyfYE)()(1034dyyy54dxdyyxxyfXYE),()(10dx18xxydyxy94)()()(),cov(YEXEXYEYX7532942254的密度函数为设二维随机变量练习：),(YX其它＝,0,2,0),(81),(yxyxyxf).,cov(YX求,67)()(YEXE,34)(XYE)()()(),cov(YEXEXYEYX361其它,020,4)1()(xxxfX协方差是对两个随机变量的协同变化的度量,但是其受度量单位的影响。例如,KX与KY之间的统计关系和X与Y之间的统计关系应该一样，但协方差却扩大了K2倍。.),cov(),cov(2YXkkYkX即为避免量纲的影响，取标准化随机变量)()(,)()(**YDYEYYXDXEXX二、相关系数)()(,)()(**YDYEYYXDXEXX不再有量纲的影响。则),cov(**YX称为二维随机变量设定义,0,0)D(Y)D(X(X,Y)，)()(),cov(),cov(**YDXDYXYX记作的相关系数和为随机变量,YX.或XYXY不相关。与时，称特别地，当YXXY0(1)不相关与相互独立的关系相互独立不相关(2)不相关的充要条件;0,1oXYρYX不相关;0),Cov(,2oYXYX不相关).()()(,3oYEXEXYEYX不相关相关系数的性质(3)1XY线性相关程度越弱。与，越接近线性相关程度越高；与，越接近XYXYXYXY01无线性关系。与时，当有严格的线性关系；与时，当XYXYXY01YX例3设（X，Y）的联合分布律为412112410041041410判断X与Y的相关性和独立性。,0)(XE,25)(YE,0)(XYE0XY不相关。与YX无线性关系。与这表示XY}1{}2{0}1,2{YPXPYXP但不独立。与YX2XY事实上，,cos,sin,],[~4YX且上的均匀分布设例.是否相关，是否独立与判断YXdXEsin21)(,0dXYEcossin21)(dYEcos21)(,0,0)()()(YEXEXYE.不相关与YX.122不独立与，所以但是YXYX.)(,23,21,)16,0(~),9,1(~5XZXYZDYXZYNX及求设且已知例分析:协方差。的与必须先求出的方差独立，所以求与已知条件没有告诉YXZYX解:XYYDXDYX)()(),cov(6)23()(YXDZD)(41)(91YDXD)2,3cov(2YX)(41)(91YDXD),cov(21312YX7,6),cov(YX,9)(XD)23,cov(),cov(YXXZX又),cov(21),cov(31YXXX6,7)(ZD),cov(21)(31YXXD)()(),cov(ZDXDZXXZ736772思考与练习：).()(,6.0,25)(,49)(),(.1YXDYXDYDXDYXXY与求为二维随机变量，设).,cov(,2.0,16)(,9)(,0)()(),(.222YXYEXEYEXEYXXY求为二维随机变量，设,21),cov(YX),cov(2)()()(YXYDXDYXD116),cov(2)()()(YXYDXDYXD32,16)(,9)(YDXD4.2)()(),cov(YDXDYXXY课后作业数学期望（均值）1)(kkkpxXExxfxXEd)()(重点回顾kkkpxgXgE)())((dxxfxgXgE)()())((数学期望的性质1性质ccE)(2性质cXEcXE)()(3性质)()(XkEkXE4性质cXkEckXE)()(5性质)()()(YEXEYXE推论)()()()(2121nnXEXEXEXXXE.)]([)(.)(,22XEXEXDXDXX即或记作的方差期望称为离差的平方的数学随机变量定义.,)(或标准差的均方差称为方差的算术平方根XXD方差◆离散型随机变量X的方差)(XDiiipXEx21)]([◆连续型随机变量X的方差xxfXExXDd)()]([)(2差的简便公式由期望的性质，可得方22)]([)()(XEXEXD方差的性质1性质0)(cD2性质)()(XDcXD3性质)()(2XDccXD4性质)()()(YDXDYXDYX相互独立，则与若10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab0θθ2θ分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ常见分布的期望与方差____)(,4.2)(),,6(~.12XEXEpBX则且设随机变量练习：2.7.____)(____,)(2},P{X1}P{X),(~.2XDXEPX则且设22____)(),1(~.32XeXEEX则设34.__)(__,)(,12),1,0(~.4YDYEXYNX则且设14._____)(___,)(,5.5XDXEX方差的期望则其点数和颗骰子掷23512175___)32(,1)(,2)(.6YXDYDXDYX则相互独立，且与设17.________)(,111000)(.73XExxxxxFX则的分布函数为：设连续型随机变量433103dxx.,,,433}XP{1,2)(,04220)(.8cbaXExbcxxaxxfX求常数且其他的密度函数为：设连续型随机变量41,1,41cba第五次上交作业:第七章：1,4,5,8,13,16,26