2.7 一维谐振子问题

kl0xmoAA弹簧振子的振动00Fx一经典简谐运动一维谐振子问题在经典力学中，简谐振动的定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式0dd222xtx在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题dxdVF因为量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则Vkxdx所以0221Vkx22012mxV2km因：2212Vmx自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，（2）为什么研究线性谐振子分子振动晶格振动原子核表面振动辐射场的振动axV(x)0V0222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxax2220)(!21axxVVax20)(21axkV22xaVkx其中：0)(0axxVVaV0()0xaVVaVx例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：221)(kxxVaxV(x)0V0在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。22221222ppHVmxmm经典力学中，一维谐振子的哈密顿上式用相应算符代入，得222221ˆ22dHmxmdx是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。)()(21dd222222xExxx————一维谐振子的定态薛定谔方程————一维谐振子的能量本征值方程)()(21dd222222xExxx为了简洁起见，引入三个无量纲参量：Ex2,,dd22()()()20求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。此式是一变系数二阶常微分方程（2）方程求解0222dd2/22/122ecec所以‘先两端，带中间’原则，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λξ2222()[]()0dd1.渐近解欲验证解的正确性，可将其代回方程，2/2edddd2/2e当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为：][22dddddd]1[22ξ2±1其解为：)2/exp()(2波函数有限性条件：0)1(2HHH2/2)()(eH将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数H(ξ)所满足的方程：渐近形式，那么令：在无穷远处有的波函数为了使方程2/22220)(][exdd其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。2.满足的方程)(H由上式可以看出：b0决定所有角标k为偶数的系数；b1决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).kkbkkkb)2)(1(122即：从而导出系数bk的递推公式：2[(1)(2)2(1)]0kkkkkbkkkbb该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零，则通解可记为：H=coHodd+ceHevenψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]2(1)(2)2(1)=0kkkbkkkbb(II)ξ→±∞需要考虑无穷级数的收敛性为此考察相邻两项之比：22222)2)(1(12kkkkbbkkkkk考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性)!1()!(!2!11]exp[222422kkkk当ξ→±∞时，H(ξ)的渐近行为与exp[ξ2]相同。2222222222)1(1)!1()!()!()!1(kkkkkkkkk相继两项之比：比较二级数可知：0)2)(1(122nnbnnnb结论基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。212EE因为0,nb,2,1,0)(21nnE于是最后得：所以总波函数有如下发散行为：]exp[]exp[]exp[]exp[)()(2212212221H为了满足波函数有限性要求，幂级数必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求从某一项（比如第n项）起以后各项的系数均为零，即()H()H20,0nnbb210n)(]exp[221nnnHN022nnnnHHH0)1(2HHH]exp[]exp[)1()(22nnnnddH由上式可以看出，的最高次幂是n其系数是2n。归一化系数（5）厄密多项式附加有限性条件得到了H(ξ)的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为Hn(ξ)，于是总波函数可表示为：封闭形式解：)(nH)(nH022)(2111nnnnnnHHHnHddH应用实例例：已知H0=1,H1=2ξ，则根据上述递推关系得出：H2=2ξH1-2nH0=4ξ2-2基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：)()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：其中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122deHeHnnnnnnddnddNnddnNn])][([)1(])[()1(21122112deHdeHnddNnnddnddNnnnnnnn222112)]([)1(])][([)1(1!2nnnN所以deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN][)()1()()1(211222!2!2)1(2222ndennNnNnnn（5）求归一化系数3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量E0={1/2}ħω≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。]exp[]exp[)1()(22nnnnddH1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以：当n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。2.ψn具有n宇称)(!2)(2/22xHenxnxnn上式描写的谐振子波函数所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式Hn(ξ)决定为n宇称。（6）讨论②一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的能量差是固定的；Eknann22222222123,,,,EEnnn(),,,,12012能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！能级间距=③一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。210E零点能是微观粒子波粒二象性的表现！)(xUoxAANME经典禁区经典禁区经典物理学中的一维谐振子：.,,经典禁区经典允许区；AxAxnnxnxNx()()eH222量子力学中的一维谐振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx考虑一维谐振子的基态：210E2221)(xxU=2x1——谐振子的特征长度按照经典理论，.,,11经典禁区经典允许区；xx按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：%16d)()(d)()(110000xxxxxx———微观粒子的隧道效应,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大,概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。例4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。解:要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密度求极大即可。nnxnxNx()()eH222量子力学中的一维谐振子：,2)(2/41122xxex概率密度：1122232xex0ddxρ1,0x零是个极小值，舍去；故极大值处为x1.级数表示：220(1)!()(2)!(2)!nknknknHknk,212,2nnn式中厄米多项式有三种重要表示：3.微分表示：2.积分表示：22()()nntnHitedt22()(1)nnnndHeed厄米多项式具有如下性质：1.递推关系：2.微分性质：111()()()2nnnHHnH12()ndHnHd3.正交归一性：4.完备性：2'()()2!nnnnneHHdn0()()nnfcH式中的展开系数为：21()()2!nnncefHdn由式（2.7.1）即可得能量本征值为：E1()0,1,2,3,2.7.42nEnn叫振动量子数。n相应的为()nH22()(1)nnnndHeed从而其波函数为：2212()()xnnnxNeHx式中归一化常数为：nN2!nnNn由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，为。一维谐振子基态能量：叫零点能。012E